حاسبة الزاوية المرجعية
تقبل الكسور العشرية والزوايا السالبة والزوايا الأكبر من 360°, جميعها تُختزل تلقائيًا.
تُرجِع حاسبة الزاوية المرجعية هذه الزاوية المرجعية والربع والزاوية المتكافئة وإشارات الدوال المثلثية لأي زاوية, بالدرجات أو الراديان. تُعالَج الزوايا السالبة والزوايا الأكبر من 360° تلقائيًا.
ما هي الزاوية المرجعية؟, تعريف الزاوية المرجعية
الزاوية المرجعية هي أصغر زاوية حادة موجبة بين الضلع النهائي لزاوية وأقرب جزء من محور السينات. تكون دائمًا بين 0° و 90° وتُكتب θ̂ (ثيتا ذات القبعة).
تُرسم الزاوية في الوضع القياسي عندما يقع ضلعها الابتدائي على محور السينات الموجب وتُقاس من نقطة الأصل في المستوى الإحداثي. الزاوية الموجبة تدور عكس اتجاه عقارب الساعة؛ الزاوية السالبة تدور في اتجاه عقارب الساعة. الضلع النهائي (الخط النهائي) هو حيث تتوقف الدوران. الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة الموجبة بين ذلك الضلع النهائي ومحور السينات.
بما أن الزاوية المرجعية تُعرَّف بالنسبة إلى أقرب جزء من محور السينات، فهي ليست سالبة أبدًا ولا تتجاوز 90°. لأي زاوية غير ربعية في النظام الديكارتي ثنائي الأبعاد، توجد زاوية مرجعية حادة واحدة تمامًا. تلك الزاوية الحادة المفردة هي مفتاح تقييم كل دالة مثلثية للزاوية الأصلية.
لنأخذ الزاوية 144° كمثال محدد. عند رسمها في الوضع القياسي، يقع ضلعها النهائي في الربع الثاني، بين 90° و180°. الزاوية المرجعية هي الفجوة الحادة بين ذلك الضلع النهائي وأقرب نصف لمحور x، والذي في هذه الحالة هو محور x السالب لا الموجب. بطرح 144° من 180° نحصل على 36°، لذا فإن الزاوية المرجعية لـ144° هي 36°. ينطبق نفس المنطق بغض النظر عن الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي، لأن كل ربع له نصف محور x الأقرب الخاص به وصيغة الطرح الخاصة به. الاستثناء الوحيد هو الزاوية المحورية، التي يقع ضلعها النهائي تمامًا على أحد المحورين بدلاً من داخل ربع مفتوح، مثل 0° أو 90° أو 180° أو 270°. تُعيد معظم الحاسبات، بما في ذلك هذه الحاسبة، زاوية مرجعية قدرها 0° أو 90° في هذه الحالات، مع أن بعض الكتب الدراسية تعاملها كحالة خاصة خارج التعريف الصارم للزاوية الحادة.
أهمية الزوايا المرجعية في حساب المثلثات
تُرجِع الدالة المثلثية نفس القيمة المطلقة لزاوية وزاويتها المرجعية, تتغير الإشارة فقط. هذا هو نظرية الزاوية المرجعية: sin(θ) = ±sin(θ̂)، وcos(θ) = ±cos(θ̂)، وtan(θ) = ±tan(θ̂). يحدد ربع الزاوية الأصلية الإشارة.
الزاوية θ
تتغير الإشارة حسب الربع
الزاوية المرجعية θ̂
نفس القيمة المطلقة
لاختيار الإشارة الصحيحة، استخدم القاعدة التذكرية ASTC (All Students Take Calculus)، التي تُسمِّي الدوال الموجبة في كل ربع:
الكل
الربع الأول
كل الدوال المثلثية موجبة.
الجيب
الربع الثاني
الجيب (وقاطع التمام) فقط هو الموجب.
الظل
الربع الثالث
الظل (وظل التمام) فقط هو الموجب.
جيب التمام
الربع الرابع
جيب التمام (والقاطع) فقط هو الموجب.
بديلان لنفس القاعدة: «Add Sugar To Coffee» (أضف السكر إلى القهوة) و«All Science Teachers (are) Crazy» (جميع معلمي العلوم مجانون).
بعد تحديد العلامة، يبدأ البحث الفعلي عن القيمة: معرفة أن sin(30°) = 1/2 تخبرك تلقائيًا أن sin(150°) = 1/2، وsin(210°) = −1/2، وsin(330°) = −1/2، لأن الزوايا الأربع تشترك في نفس الزاوية المرجعية 30°. تُظهر بطاقة المقارنة أعلاه هذا النمط تمامًا عبر ثلاثة أرباع مختلفة. لهذا السبب فإن حفظ الزوايا المرجعية أكثر كفاءة بكثير من حفظ كل زاوية على حدة: عدد قليل من قيم الربع الأول، مع قاعدة علامات ASTC، يغطي تقريبًا كل زاوية قد يسألها مقرر أو امتحان تقليدي في علم المثلثات.
أرباع الرسم والدوال المثلثية
يقسّم محورا النظام الديكارتي ثنائي الأبعاد المستوى إلى أربعة أرباع. يبدأ الترقيم في الربع العلوي الأيمن، حيث تكون كلتا الإحداثيتين موجبتين، ويستمر عكس اتجاه عقارب الساعة عبر الثاني والثالث والرابع. يعرض الجدول أدناه القيم المثلثية الدقيقة للزوايا القياسية الثماني من 0° إلى 360° (من 0 إلى 2π راديان). تتكرر هذه القيم مع تغييرات في الإشارة حسب الربع.
تتطابق كل حدود ربع مع زاوية محورية: 0° و90° و180° و270°. قراءة الجدول أدناه إلى جانب نمط ASTC تُظهر بالضبط سبب تكرار العلامات: فمقدار الزاوية عند 30°، على سبيل المثال، يظهر مرة أخرى عند 150° و210° و330°، لأن الزوايا الأربع تشترك في نفس الزاوية المرجعية، وتتغير العلامة فقط لتطابق الربع الذي تقع فيه تلك الزاوية المحددة. هذا هو نفس الجدول المستخدم في بقية هذه الصفحة، ويستحق الرجوع إليه كل مرة تحتاج فيها إلى التحقق من علامة معينة أو قيمة دقيقة.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
كيف تجد الزاوية المرجعية للدرجات؟
اختر الصيغة التي تطابق ربع الضلع النهائي. كل صيغة تُرجِع زاوية حادة موجبة بين 0° و 90°.
0° إلى 90°
θ̂ = θ
90° إلى 180°
θ̂ = 180° − θ
180° إلى 270°
θ̂ = θ − 180°
270° إلى 360°
θ̂ = 360° − θ
لإيجاد زاوية مرجعية بالدرجات، اتبع أربع خطوات:
- إذا كانت الزاوية أكبر من 360°، اطرح 360° حتى تقع بين 0° و 360°.
- حدد الربع باستخدام النطاقات في البطاقات أعلاه.
- طبق الصيغة المطابقة.
- النتيجة هي زاويتك المرجعية, دائمًا زاوية حادة موجبة.
مثال محلول, 610°
- اختزال: 610° − 360° = 250°
- تحديد الموقع: 250° يقع في الربع الثالث
- تطبيق: θ̂ = 250° − 180° = 70°
الزاوية المرجعية = 70°
مثال محلول, 144°
- اختزال: تقع بالفعل بين 0° و 360°
- تحديد الموقع: 144° يقع في الربع الثاني
- تطبيق: θ̂ = 180° − 144° = 36°
الزاوية المرجعية = 36°
بالنسبة للزوايا في الربع الثاني، فإن إيجاد الزاوية المرجعية هو نفسه إيجاد الزاوية المتممة, الاثنتان مجموعهما 180°.
يتبع كل من المثالين المحلولين أعلاه نفس النمط المكون من ثلاث خطوات في ظل شروط بداية مختلفة قليلاً. تحتاج 610° أولاً إلى خطوة تبسيط إضافية لأنها أكبر من دورة كاملة، بينما 144° تقع بالفعل ضمن نطاق 0° إلى 360° وتنتقل مباشرة إلى تحديد الربع. بمجرد أن تقع الزاوية ضمن ذلك النطاق، يصبح تحديد ربعها مجرد فحص أي من النطاقات الحدودية الأربعة تقع بينها، وتتولى الصيغة المطابقة باقي العمل. لاحظ أن كل واحدة من الصيغ الأربع مصممة لإعادة رقم صغير وموجب: يحافظ الربع الأول على الزاوية كما هي لأنها حادة بالفعل، بينما تطرح الأرباع الثاني والثالث والرابع كل منها في اتجاه يقيس المسافة إلى أقرب محور x بدلاً من الدوران الكامل من محور x الموجب. هذه هي الفكرة الكاملة وراء الزاوية المرجعية: فهي تحول دورانًا عشوائيًا إلى مكافئ صغير ومألوف في الربع الأول.
كيف تجد الزاوية المرجعية بالراديان؟
تعكس إجراءات الراديان إجراءات الدرجات, تتغير فقط قيم الحدود. استبدل 180° بـ π و 360° بـ 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
مثال محلول, 28π/9
- اختزال: 28π/9 − 2π = 10π/9
- تحديد الموقع: 10π/9 يتجاوز π مباشرة → الربع الثالث
- تطبيق: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
الزاوية المرجعية = π/9
مثال محلول, 4π/3
- اختزال: تقع بالفعل بين 0 و 2π
- تحديد الموقع: 4π/3 تقع بين π و 3π/2 → الربع الثالث
- تطبيق: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
الزاوية المرجعية = π/3
| الزاوية (rad) | الربع | الزاوية المرجعية |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
للزوايا الأكبر من 2π، أو الأصغر من 0، أضف أو اطرح أولاً مضاعفات 2π، بنفس طريقة إزالة مضاعفات 360° بالدرجات، حتى تقع النتيجة داخل دورة كاملة واحدة. يوضح المثالان المحلولان أعلاه هذه العملية: 28π/9 يتجاوز دورة كاملة ويحتاج إلى تبسيط واحد، بينما 4π/3 يقع بالفعل بين 0 و2π. وبما أن الدرجات والراديان يقيسان نفس الدوران، فإن الزاوية المرجعية الموجودة بالراديان تطابق دائمًا الزاوية المرجعية الموجودة بالدرجات.
كيف تستخدم حاسبة الزاوية المرجعية هذه؟
1. أدخل الزاوية
اكتب أي زاوية في حقل الإدخال واختر الدرجات أو الراديان. تعمل الكسور العشرية والقيم السالبة والزوايا التي تتجاوز 360°.
2. اقرأ النتائج
تُظهر الحاسبة فورًا الزاوية المرجعية والربع والزاوية المتكافئة وإشارات الدوال المثلثية, دون الحاجة إلى أي زر.
تُعالَج الزوايا السالبة تلقائيًا بإضافة 360° لإيجاد المكافئ الموجب، وتُختزل الزوايا الأكبر من 360° أولًا. يقبل إدخال الراديان القيم العشرية، وعند تبديل الوحدة تُعاد الحسابات فورًا. يمكنك أيضًا سحب النقطة حول دائرة الوحدة لتحريك الضلع النهائي يدويًا.
ما هي الزاوية المرجعية لـ…
ابحث عن الزاوية المرجعية لأي زاوية شائعة حسب الربع. الزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°، 90°) مميزة بمكافئاتها بالراديان.
الربع الأول (0° إلى 90°)
كل زاوية في الربع الأول هي زاويتها المرجعية نفسها.
| الزاوية | الزاوية المرجعية |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
الربع الثاني (90° إلى 180°)
الزاوية المرجعية = 180° − الزاوية لكل زوايا الربع الثاني.
| الزاوية | الزاوية المرجعية |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
الربع الثالث (180° إلى 270°)
الزاوية المرجعية = الزاوية − 180° لكل زوايا الربع الثالث.
| الزاوية | الزاوية المرجعية |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
الربع الرابع (270° إلى 360°)
الزاوية المرجعية = 360° − الزاوية لكل زوايا الربع الرابع.
| الزاوية | الزاوية المرجعية |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
ماذا لو كانت الزاوية أكبر من 360°؟
الزاوية الأكبر من 360° أكملت دورة كاملة واحدة على الأقل. اطرح 360° مرارًا حتى تكون الزاوية بين 0° و 360°, هذا هو نفسه إيجاد الزاوية المتكافئة بين 0° و 360°, ثم طبق صيغة الربع القياسية.
مثال ثانٍ: 720° − 360° = 360°، وهي زاوية ربعية، لذا الزاوية المرجعية هي 0°. بالراديان، اطرح مضاعفات 2π بدلاً من 360°.
خطوة التبسيط هذه هي في الواقع مجرد إيجاد الزاوية المتكافئة بين 0° و360° أولاً، باستخدام نفس عملية الطرح المستخدمة في حاسبة الزاوية المتكافئة بالكامل على هذا الموقع. بمجرد إيجاد تلك الزاوية المتكافئة، تصبح بقية العملية مماثلة لأي زاوية أخرى: حدد الربع الذي تقع فيه، ثم طبّق صيغة ذلك الربع. يمكن أن تكون الزوايا كبيرة بشكل تعسفي. زاوية مثل 1080° تحتاج فقط إلى ثلاث عمليات طرح لـ360° بدلاً من واحدة قبل أن تُطبَّق صيغة الربع، وينطبق نفس منطق التبسيط ثم التطبيق على أي حجم دون تغيير.
ماذا لو كانت الزاوية سالبة؟
الزوايا السالبة تدور في اتجاه عقارب الساعة من محور السينات الموجب بدلاً من عكس اتجاه عقارب الساعة. لإيجاد الزاوية المرجعية، أضف 360° للحصول على الزاوية المتكافئة الموجبة، ثم طبق الصيغة القياسية. بالنسبة لـ −110°: −110° + 360° = 250°، التي تقع في الربع الثالث، لذا θ̂ = 250° − 180° = 70°. بالنسبة لـ −30°: −30° + 360° = 330°، التي تقع في الربع الرابع، لذا θ̂ = 360° − 330° = 30°. بالراديان، أضف 2π بدلاً من 360°. الزوايا المرجعية دائمًا موجبة، بصرف النظر عما إذا كانت الزاوية الأصلية موجبة أم سالبة.
يعكس هذا بالضبط حالة الزوايا الأكبر من 360°، ولكن في الاتجاه المعاكس: بدلاً من طرح دورات كاملة لتقليل زاوية كبيرة، تضيف دورة كاملة لرفع زاوية سالبة إلى النطاق الطبيعي من 0° إلى 360°. قد تحتاج زاوية سالبة جدًا، مثل −450°، إلى أكثر من إضافة واحدة لـ360° قبل أن تقع ضمن ذلك النطاق، تمامًا كما تحتاج زاوية موجبة كبيرة جدًا إلى أكثر من عملية طرح واحدة. بمجرد أن تصبح الزاوية موجبة، يتم إيجاد الربع والزاوية المرجعية بالطريقة نفسها المستخدمة لأي زاوية أخرى في هذه الصفحة.
جدول الزاوية المرجعية
يعرض الجدول الزاوية المرجعية لكل زاوية رئيسية من 0° إلى 360°، بالدرجات والراديان معًا. الصفوف المميزة تُعلِّم الزوايا الخاصة (30°، 45°، و60°) التي تظهر مرارًا في حساب المثلثات.
| الزاوية (°) | الزاوية (rad) | الربع | المرجعية (°) | المرجعية (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
مخطط الزاوية المرجعية
يعرض المخطط أعلاه 4 صيغ للزاوية المرجعية, صيغة لكل ربع. يحدد ربع الضلع النهائي أي صيغة تُستخدم. جميع الصيغ الأربع تُرجِع نفس نوع النتيجة: زاوية حادة موجبة بين 0° و 90°.
الأسئلة الشائعة
هل توجد زاوية مرجعية دائمًا؟
نعم، كل زاوية لها زاوية مرجعية. بالنسبة للزوايا في الربع الأول (0° إلى 90°)، الزاوية المرجعية تساوي الزاوية الأصلية. بالنسبة للزوايا الربعية (بالضبط 0°، 90°، 180°، 270°، 360°)، الزاوية المرجعية هي 0° أو 90° حسب الموضع. تشير بعض الكتب المدرسية إلى أن الزوايا الربعية تقنيًا ليس لها زوايا مرجعية بالمعنى الدقيق, تُرجِع هذه الحاسبة 0° لـ 0° و180° و360°، و90° لـ 90° و270°.
هل يمكن أن تكون الزاوية المرجعية سالبة؟
لا. الزاوية المرجعية دائمًا زاوية حادة موجبة. حتى عندما تكون الزاوية الأصلية سالبة، فإن حساب الزاوية المرجعية يُنتج نتيجة موجبة لأنه يقيس المسافة الحادة بين الضلع النهائي ومحور السينات.
هل الزاوية المرجعية دائمًا أقل من 90 درجة؟
نعم. بحكم التعريف، الزاوية المرجعية دائمًا أقل من 90° (π/2 راديان) للزوايا غير الربعية. بالنسبة للزوايا التي تقع بالضبط على المحاور، تعتبر معظم الكتب المدرسية أن الزاوية المرجعية هي 0° أو غير معرَّفة بدلاً من 90°.
هل الزوايا المرجعية دائمًا موجبة؟
نعم. الزوايا المرجعية دائمًا موجبة، بصرف النظر عما إذا كانت الزاوية الأصلية موجبة أو سالبة أو أكبر من 360° أو مُعبَّر عنها بالراديان.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 90 درجة؟
الزاوية المرجعية لـ 90° هي 90°. 90° زاوية ربعية, ضلعها النهائي يقع بالضبط على محور الصادات الموجب، والزاوية بين ذلك الضلع النهائي ومحور السينات هي 90°. تعامل بعض الكتب المدرسية الزوايا الربعية على أنها ليس لها زاوية مرجعية معرَّفة؛ تُرجِع هذه الحاسبة 90°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 150°؟
الزاوية المرجعية لـ 150° هي 30°. 150° تقع في الربع الثاني، لذا صيغة الربع الثاني تعطي θ̂ = 180° − 150° = 30°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 225°؟
الزاوية المرجعية لـ 225° هي 45°. 225° تقع في الربع الثالث، لذا صيغة الربع الثالث تعطي θ̂ = 225° − 180° = 45°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 300°؟
الزاوية المرجعية لـ 300° هي 60°. 300° تقع في الربع الرابع، لذا صيغة الربع الرابع تعطي θ̂ = 360° − 300° = 60°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ −30°؟
الزاوية المرجعية لـ −30° هي 30°. حوِّلها أولًا إلى زاوية متكافئة موجبة: −30° + 360° = 330°. 330° تقع في الربع الرابع، لذا θ̂ = 360° − 330° = 30°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 90 درجة؟
الزاوية المرجعية لـ 90° هي 90°. 90° زاوية ربعية, ضلعها النهائي يقع بالضبط على محور الصادات الموجب، والزاوية بين ذلك الضلع النهائي ومحور السينات هي 90°. تعامل بعض الكتب المدرسية الزوايا الربعية على أنها ليس لها زاوية مرجعية معرَّفة؛ تُرجِع هذه الحاسبة 90°.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 2π؟
الزاوية المرجعية لـ 2π هي 0. 2π يساوي دورة كاملة (360°)، التي تُعيد الضلع النهائي إلى محور السينات الموجب. بما أن الزاوية تقع على المحور، فإن الزاوية المرجعية, الزاوية الحادة إلى أقرب محور سينات, هي 0.
ما هي الزاوية المرجعية لـ 4π/3؟
الزاوية المرجعية لـ 4π/3 هي π/3. 4π/3 يكافئ 240°، التي تقع في الربع الثالث. صيغة الربع الثالث تعطي θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
ما الفرق بين الزاوية المرجعية والزاوية المتكافئة؟
الزاوية المتكافئة تشترك في نفس الضلع النهائي مثل الزاوية الأصلية, تتكوّن بإضافة أو طرح مضاعفات 360° (أو 2π). الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة بين الضلع النهائي وأقرب محور سينات. الزوايا المتكافئة متساوية في الموضع؛ الزاوية المرجعية هي قياس للمسافة إلى محور السينات.