Referenzwinkel-Rechner
Akzeptiert Dezimalzahlen, negative Winkel und Winkel größer als 360°, alle werden automatisch reduziert.
Dieser Referenzwinkel-Rechner liefert den Referenzwinkel, den Quadranten, den koterminalen Winkel und die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen für jeden Winkel, in Grad oder Bogenmaß. Negative Winkel und Winkel größer als 360° werden automatisch verarbeitet.
Was ist ein Referenzwinkel?, Definition des Referenzwinkels
Ein Referenzwinkel ist der kleinste positive spitze Winkel zwischen dem Endschenkel eines Winkels und dem nächsten Teil der x-Achse. Er liegt immer zwischen 0° und 90° und wird θ̂ (Theta-Dach) geschrieben.
Ein Winkel wird in Standardposition gezeichnet, wenn sein Anfangsschenkel auf der positiven x-Achse liegt und er vom Ursprung der Koordinatenebene aus gemessen wird. Ein positiver Winkel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn; ein negativer Winkel dreht sich im Uhrzeigersinn. Der Endschenkel (die Endlinie) ist die Stelle, an der die Drehung stoppt. Der Referenzwinkel ist der positive spitze Winkel zwischen diesem Endschenkel und der x-Achse.
Da der Referenzwinkel gegen den nächsten Teil der x-Achse definiert ist, ist er nie negativ und nie größer als 90°. Für jeden nicht-Quadrantenwinkel im 2D-kartesischen System existiert genau ein spitzer Referenzwinkel. Dieser einzige spitze Winkel ist der Schlüssel zur Auswertung jeder trigonometrischen Funktion des ursprünglichen Winkels.
Nehmen wir den Winkel 144° als konkretes Beispiel. In Standardlage gezeichnet, fällt sein Endschenkel in den zweiten Quadranten, zwischen 90° und 180°. Der Referenzwinkel ist die spitze Lücke zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen Hälfte der x-Achse, die in diesem Fall die negative statt die positive x-Achse ist. Subtrahiert man 180° minus 144°, ergibt sich 36°, also beträgt der Referenzwinkel für 144° genau 36°. Dieselbe Logik gilt unabhängig davon, in welchem Quadranten ein Endschenkel liegt, da jeder Quadrant seine eigene nächstgelegene x-Achsen-Hälfte und seine eigene Subtraktionsformel besitzt. Die einzige Ausnahme ist ein Achsenwinkel, dessen Endschenkel genau auf einer Achse liegt statt innerhalb eines offenen Quadranten, etwa bei 0°, 90°, 180° oder 270°. Die meisten Rechner, auch dieser hier, liefern in solchen Fällen trotzdem einen Referenzwinkel von 0° oder 90°, obwohl manche Lehrbücher sie als Sonderfall außerhalb der strengen Definition eines spitzen Winkels behandeln.
Bedeutung von Referenzwinkeln in der Trigonometrie
Eine trigonometrische Funktion liefert für einen Winkel und seinen Referenzwinkel denselben absoluten Wert, nur das Vorzeichen unterscheidet sich. Das ist der Referenzwinkelsatz: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) und tan(θ) = ±tan(θ̂). Der Quadrant des ursprünglichen Winkels bestimmt das Vorzeichen.
Winkel θ
Vorzeichen variiert nach Quadrant
Referenzwinkel θ̂
Derselbe absolute Wert
Um das richtige Vorzeichen zu wählen, verwenden Sie die ASTC-Eselsbrücke (All Students Take Calculus, Alle Studenten nehmen Calculus), welche die Funktionen benennt, die in jedem Quadranten positiv sind:
Alle
Quadrant I
Alle trigonometrischen Funktionen sind positiv.
Sinus
Quadrant II
Nur der Sinus (und die Kosekante) ist positiv.
Tangens
Quadrant III
Nur der Tangens (und die Kotangens) ist positiv.
Kosinus
Quadrant IV
Nur der Kosinus (und die Sekante) ist positiv.
Zwei Alternativen für dieselbe Regel: "Add Sugar To Coffee" (Zucker zum Kaffee hinzufügen) und "All Science Teachers (are) Crazy." (Alle Naturwissenschaftslehrer sind verrückt).
Sobald das Vorzeichen feststeht, kommt das eigentliche Nachschlagen ins Spiel: Wer weiß, dass sin(30°) = 1/2 ist, weiß automatisch, dass sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2 und sin(330°) = −1/2 gilt, da alle vier Winkel denselben Referenzwinkel von 30° teilen. Die Vergleichskarte oben zeigt genau dieses Muster über drei verschiedene Quadranten. Deshalb ist das Merken von Referenzwinkeln weit effizienter als das Merken jedes einzelnen Winkels: eine Handvoll Werte aus dem ersten Quadranten deckt zusammen mit der ASTC-Vorzeichenregel praktisch jeden Winkel ab, der in einem typischen Trigonometriekurs oder einer Prüfung vorkommt.
Graphen-Quadranten und trigonometrische Funktionen
Die beiden Achsen des 2D-kartesischen Systems teilen die Ebene in vier Quadranten. Die Nummerierung beginnt im oberen rechten Quadranten, wo beide Koordinaten positiv sind, und verläuft gegen den Uhrzeigersinn durch II, III und IV. Die Tabelle unten zeigt genaue trigonometrische Werte für die acht Standardwinkel von 0° bis 360° (0 bis 2π Bogenmaß). Diese Werte wiederholen sich mit Vorzeichenwechseln je nach Quadrant.
Jede Quadrantengrenze fällt mit einem Achsenwinkel zusammen: 0°, 90°, 180° und 270°. Liest man die Tabelle unten zusammen mit dem ASTC-Muster, zeigt sich genau, warum sich die Vorzeichen wiederholen: Der Betrag bei 30° zum Beispiel taucht bei 150°, 210° und 330° erneut auf, da alle vier denselben Referenzwinkel teilen und sich nur das Vorzeichen ändert, um zu dem Quadranten zu passen, in dem dieser bestimmte Winkel liegt. Es ist dieselbe Tabelle, die auf der gesamten restlichen Seite verwendet wird, und es lohnt sich, jederzeit darauf zurückzukommen, wenn ein bestimmtes Vorzeichen oder ein genauer Wert überprüft werden muss.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Wie findet man den Referenzwinkel für Grad?
Wählen Sie die Formel, die zum Quadranten des Endschenkels passt. Jede liefert einen positiven spitzen Winkel zwischen 0° und 90°.
0° bis 90°
θ̂ = θ
90° bis 180°
θ̂ = 180° − θ
180° bis 270°
θ̂ = θ − 180°
270° bis 360°
θ̂ = 360° − θ
Um einen Referenzwinkel in Grad zu finden, folgen Sie vier Schritten:
- Wenn der Winkel größer als 360° ist, subtrahieren Sie 360°, bis er zwischen 0° und 360° liegt.
- Bestimmen Sie den Quadranten anhand der Bereiche in den Karten oben.
- Wenden Sie die passende Formel an.
- Das Ergebnis ist Ihr Referenzwinkel, immer ein positiver spitzer Winkel.
Durchgerechnetes Beispiel, 610°
- Reduzieren: 610° − 360° = 250°
- Lokalisieren: 250° liegt in Quadrant III
- Anwenden: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Referenzwinkel = 70°
Durchgerechnetes Beispiel, 144°
- Reduzieren: bereits zwischen 0° und 360°
- Lokalisieren: 144° liegt in Quadrant II
- Anwenden: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Referenzwinkel = 36°
Für Winkel im zweiten Quadranten ist das Finden des Referenzwinkels dasselbe wie das Finden des Ergänzungswinkels, die beiden ergeben zusammen 180°.
Beide oben gelösten Beispiele folgen demselben Dreischritt-Muster unter leicht unterschiedlichen Ausgangsbedingungen. 610° benötigt zunächst einen zusätzlichen Reduktionsschritt, da der Winkel größer als eine volle Umdrehung ist, während 144° bereits im Bereich von 0° bis 360° liegt und direkt zur Quadrantensuche übergeht. Sobald ein Winkel innerhalb dieses Bereichs liegt, besteht die Bestimmung seines Quadranten nur darin, zu prüfen, zwischen welchen der vier Grenzbereiche er liegt, und die passende Formel erledigt den Rest. Beachten Sie, dass jede der vier Formeln so gestaltet ist, dass sie eine kleine, positive Zahl zurückgibt: Quadrant I lässt den Winkel unverändert, da er bereits spitz ist, während die Quadranten II, III und IV jeweils in eine Richtung subtrahieren, die den Abstand zur nächstgelegenen x-Achse misst, statt der vollen Drehung von der positiven x-Achse aus. Das ist die gesamte Idee hinter einem Referenzwinkel: Er verwandelt eine beliebige Drehung in ein kleines, vertrautes Äquivalent im ersten Quadranten.
Wie findet man den Referenzwinkel im Bogenmaß?
Das Bogenmaß-Verfahren spiegelt das Grad-Verfahren wider, nur die Grenzwerte ändern sich. Ersetzen Sie 180° durch π und 360° durch 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Durchgerechnetes Beispiel, 28π/9
- Reduzieren: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Lokalisieren: 10π/9 liegt knapp hinter π → Quadrant III
- Anwenden: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Referenzwinkel = π/9
Durchgerechnetes Beispiel, 4π/3
- Reduzieren: bereits zwischen 0 und 2π
- Lokalisieren: 4π/3 liegt zwischen π und 3π/2 → Quadrant III
- Anwenden: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Referenzwinkel = π/3
| Winkel (rad) | Quadrant | Referenzwinkel |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
Bei Winkeln größer als 2π oder kleiner als 0 addieren oder subtrahieren Sie zunächst Vielfache von 2π, genau wie bei Grad Vielfache von 360° entfernt werden, bis das Ergebnis innerhalb einer vollen Umdrehung liegt. Die beiden gelösten Beispiele oben zeigen diesen Vorgang: 28π/9 liegt über einer vollen Umdrehung und benötigt eine Reduktion, während 4π/3 bereits zwischen 0 und 2π liegt. Da Grad und Radiant dieselbe Drehung messen, stimmt ein in Radiant gefundener Referenzwinkel immer mit dem in Grad gefundenen überein.
Wie verwendet man diesen Referenzwinkel-Rechner?
1. Winkel eingeben
Geben Sie einen beliebigen Winkel in das Eingabefeld ein und wählen Sie Grad oder Bogenmaß. Dezimalzahlen, negative Werte und Winkel über 360° funktionieren alle.
2. Ergebnisse ablesen
Der Rechner zeigt sofort den Referenzwinkel, den Quadranten, den koterminalen Winkel und die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen, kein Knopfdruck nötig.
Negative Winkel werden automatisch verarbeitet, indem 360° addiert wird, um das positive Äquivalent zu finden, und Winkel größer als 360° werden zuerst reduziert. Die Bogenmaßeingabe akzeptiert Dezimalwerte, und beim Wechseln der Einheit wird sofort neu berechnet. Sie können auch den Punkt um den Einheitskreis ziehen, um den Endschenkel von Hand zu bewegen.
Was ist der Referenzwinkel für…
Schlagen Sie den Referenzwinkel für jeden häufigen Winkel nach Quadrant nach. Spezielle Winkel (30°, 45°, 60°, 90°) werden mit ihren Bogenmaß-Äquivalenten hervorgehoben.
Erster Quadrant (0° bis 90°)
Jeder Winkel im ersten Quadranten ist sein eigener Referenzwinkel.
| Winkel | Referenzwinkel |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Zweiter Quadrant (90° bis 180°)
Referenzwinkel = 180° − Winkel für alle Winkel im zweiten Quadranten.
| Winkel | Referenzwinkel |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Dritter Quadrant (180° bis 270°)
Referenzwinkel = Winkel − 180° für alle Winkel im dritten Quadranten.
| Winkel | Referenzwinkel |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Vierter Quadrant (270° bis 360°)
Referenzwinkel = 360° − Winkel für alle Winkel im vierten Quadranten.
| Winkel | Referenzwinkel |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Was, wenn der Winkel größer als 360° ist?
Ein Winkel größer als 360° hat mindestens eine volle Umdrehung vollendet. Subtrahieren Sie wiederholt 360°, bis der Winkel zwischen 0° und 360° liegt, das ist dasselbe wie das Finden des koterminalen Winkels zwischen 0° und 360°, und wenden Sie dann die Standard-Quadrantenformel an.
Ein zweites Beispiel: 720° − 360° = 360°, was ein Quadrantenwinkel ist, also ist der Referenzwinkel 0°. Im Bogenmaß subtrahieren Sie Vielfache von 2π statt 360°.
Dieser Reduktionsschritt besteht eigentlich nur darin, zuerst den koterminalen Winkel zwischen 0° und 360° zu finden, mit genau derselben Subtraktion, die im gesamten Koterminalwinkel-Rechner dieser Seite verwendet wird. Sobald dieser koterminale Winkel gefunden ist, ist der Rest des Vorgangs identisch mit jedem anderen Winkel: Bestimmen Sie, in welchem Quadranten er liegt, und wenden Sie dann die Formel dieses Quadranten an. Winkel können beliebig groß sein. Ein Winkel wie 1080° benötigt einfach drei Subtraktionen von 360° statt einer, bevor die Quadrantenformel überhaupt zum Einsatz kommt, und dieselbe Logik aus Reduzieren und Anwenden skaliert auf jede Größe, ohne sich zu ändern.
Was, wenn der Winkel negativ ist?
Negative Winkel rotieren im Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse statt gegen den Uhrzeigersinn. Um den Referenzwinkel zu finden, addieren Sie 360°, um den positiven koterminalen Winkel zu erhalten, und wenden Sie dann die Standardformel an. Für −110°: −110° + 360° = 250°, was in Quadrant III liegt, also θ̂ = 250° − 180° = 70°. Für −30°: −30° + 360° = 330°, was in Quadrant IV liegt, also θ̂ = 360° − 330° = 30°. Im Bogenmaß addieren Sie 2π statt 360°. Referenzwinkel sind immer positiv, unabhängig davon, ob der ursprüngliche Winkel positiv oder negativ war.
Dies spiegelt genau den Fall von Winkeln über 360° wider, nur in umgekehrter Richtung: Statt volle Umdrehungen zu subtrahieren, um einen großen Winkel zu verkleinern, addieren Sie eine volle Umdrehung, um einen negativen Winkel in den normalen Bereich von 0° bis 360° zu bringen. Ein sehr negativer Winkel wie −450° benötigt möglicherweise mehr als eine Addition von 360°, bevor er in diesen Bereich fällt, genau wie ein sehr großer positiver Winkel mehr als eine Subtraktion benötigt. Sobald der Winkel positiv ist, werden Quadrant und Referenzwinkel genauso bestimmt wie bei jedem anderen Winkel auf dieser Seite.
Referenzwinkeltabelle
Die Tabelle zeigt den Referenzwinkel für jeden Hauptwinkel von 0° bis 360°, sowohl in Grad als auch im Bogenmaß. Hervorgehobene Zeilen markieren die speziellen Winkel (30°, 45° und 60°), die wiederholt in der Trigonometrie auftreten.
| Winkel (°) | Winkel (rad) | Quadrant | Ref. (°) | Ref. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Referenzwinkeldiagramm
Das obige Diagramm zeigt die 4 Referenzwinkelformeln, eine für jeden Quadranten. Der Quadrant des Endschenkels bestimmt, welche Formel zu verwenden ist. Alle 4 liefern dieselbe Art von Ergebnis: einen positiven spitzen Winkel zwischen 0° und 90°.
Häufig gestellte Fragen
Gibt es immer einen Referenzwinkel?
Ja, jeder Winkel hat einen Referenzwinkel. Für Winkel im ersten Quadranten (0° bis 90°) ist der Referenzwinkel gleich dem ursprünglichen Winkel. Für Quadrantenwinkel (genau 0°, 90°, 180°, 270°, 360°) ist der Referenzwinkel 0° oder 90° je nach Position. Manche Lehrbücher merken an, dass Quadrantenwinkel im strengen Sinne technisch keinen Referenzwinkel haben, dieser Rechner gibt 0° für 0°, 180° und 360° zurück und 90° für 90° und 270°.
Kann ein Referenzwinkel negativ sein?
Nein. Ein Referenzwinkel ist immer ein positiver spitzer Winkel. Selbst wenn der ursprüngliche Winkel negativ ist, liefert die Referenzwinkelberechnung ein positives Ergebnis, weil sie die spitze Entfernung zwischen dem Endschenkel und der x-Achse misst.
Ist ein Referenzwinkel immer kleiner als 90 Grad?
Ja. Per Definition ist ein Referenzwinkel für nicht-Quadrantenwinkel immer kleiner als 90° (π/2 Bogenmaß). Für Winkel genau auf den Achsen betrachten die meisten Lehrbücher den Referenzwinkel als 0° oder undefiniert statt als 90°.
Sind Referenzwinkel immer positiv?
Ja. Referenzwinkel sind immer positiv, unabhängig davon, ob der ursprüngliche Winkel positiv, negativ, größer als 360° oder im Bogenmaß ausgedrückt war.
Was ist der Referenzwinkel für 90 Grad?
Der Referenzwinkel für 90° ist 90°. 90° ist ein Quadrantenwinkel, sein Endschenkel fällt genau auf die positive y-Achse, und der Winkel zwischen diesem Endschenkel und der x-Achse beträgt 90°. Manche Lehrbücher behandeln Quadrantenwinkel so, als hätten sie keinen definierten Referenzwinkel; dieser Rechner gibt 90° zurück.
Was ist der Referenzwinkel für 150°?
Der Referenzwinkel für 150° ist 30°. 150° liegt im zweiten Quadranten, also ergibt die Quadrant-II-Formel θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Was ist der Referenzwinkel für 225°?
Der Referenzwinkel für 225° ist 45°. 225° liegt im dritten Quadranten, also ergibt die Quadrant-III-Formel θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Was ist der Referenzwinkel für 300°?
Der Referenzwinkel für 300° ist 60°. 300° liegt im vierten Quadranten, also ergibt die Quadrant-IV-Formel θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Was ist der Referenzwinkel für −30°?
Der Referenzwinkel für −30° ist 30°. Wandeln Sie zuerst in einen positiven koterminalen Winkel um: −30° + 360° = 330°. 330° liegt in Quadrant IV, also θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Was ist der Referenzwinkel für 90 Grad?
Der Referenzwinkel für 90° ist 90°. 90° ist ein Quadrantenwinkel, sein Endschenkel fällt genau auf die positive y-Achse, und der Winkel zwischen diesem Endschenkel und der x-Achse beträgt 90°. Manche Lehrbücher behandeln Quadrantenwinkel so, als hätten sie keinen definierten Referenzwinkel; dieser Rechner gibt 90° zurück.
Was ist der Referenzwinkel für 2π?
Der Referenzwinkel für 2π ist 0. 2π entspricht einer vollen Umdrehung (360°), die den Endschenkel zur positiven x-Achse zurückführt. Da der Winkel auf der Achse liegt, ist der Referenzwinkel, der spitze Winkel zur nächsten x-Achse, 0.
Was ist der Referenzwinkel für 4π/3?
Der Referenzwinkel für 4π/3 ist π/3. 4π/3 entspricht 240°, was im dritten Quadranten liegt. Die Quadrant-III-Formel ergibt θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Was ist der Unterschied zwischen einem Referenzwinkel und einem koterminalen Winkel?
Ein koterminaler Winkel teilt denselben Endschenkel wie der ursprüngliche Winkel, er entsteht durch Addieren oder Subtrahieren von Vielfachen von 360° (oder 2π). Ein Referenzwinkel ist der spitze Winkel zwischen dem Endschenkel und der nächsten x-Achse. Koterminale Winkel sind in der Position gleich; ein Referenzwinkel ist ein Maß für die Entfernung zur x-Achse.