Kalkulator Sudut Referensi
Menerima desimal, sudut negatif, dan sudut yang lebih besar dari 360°, semuanya dikurangi secara otomatis.
Kalkulator sudut referensi ini mengembalikan sudut referensi, kuadran, sudut koterminal, dan tanda fungsi trigonometri untuk sudut apa pun, dalam derajat atau radian. Sudut negatif dan sudut yang lebih besar dari 360° ditangani secara otomatis.
Apa itu Sudut Referensi?, Definisi Sudut Referensi
Sudut referensi adalah sudut lancip positif terkecil antara sisi terminal suatu sudut dan bagian terdekat dari sumbu x. Sudut ini selalu antara 0° dan 90° dan ditulis θ̂ (theta-topi).
Suatu sudut digambar dalam posisi standar ketika sisi awalnya terletak pada sumbu x positif dan diukur dari titik asal bidang koordinat. Sudut positif berputar berlawanan arah jarum jam; sudut negatif berputar searah jarum jam. Sisi terminal (garis terminal) adalah tempat rotasi berhenti. Sudut referensi adalah sudut lancip positif antara sisi terminal tersebut dan sumbu x.
Karena sudut referensi didefinisikan terhadap bagian terdekat dari sumbu x, sudut ini tidak pernah negatif dan tidak pernah lebih besar dari 90°. Untuk sudut non-kuadranal apa pun dalam sistem kartesius 2D, tepat satu sudut referensi lancip ada. Sudut lancip tunggal itu adalah kunci untuk mengevaluasi setiap fungsi trigonometri dari sudut asli.
Ambil sudut 144° sebagai contoh konkret. Digambar dalam posisi standar, sisi terminalnya berada di kuadran kedua, antara 90° dan 180°. Sudut referensi adalah celah lancip antara sisi terminal tersebut dan separuh sumbu-x yang terdekat, yang dalam kasus ini adalah sumbu-x negatif, bukan positif. Mengurangkan 180° dikurangi 144° menghasilkan 36°, sehingga sudut referensi untuk 144° adalah 36°. Logika yang sama berlaku tidak peduli di kuadran mana sisi terminal berada, karena setiap kuadran memiliki separuh sumbu-x terdekatnya sendiri dan rumus pengurangannya sendiri. Satu-satunya pengecualian adalah sudut kuadranal, yaitu sudut yang sisi terminalnya jatuh tepat pada sumbu, bukan di dalam kuadran terbuka, seperti 0°, 90°, 180°, atau 270°. Sebagian besar kalkulator, termasuk yang ini, tetap mengembalikan sudut referensi 0° atau 90° untuk kasus-kasus ini, meskipun beberapa buku teks menganggapnya sebagai kasus khusus di luar definisi sudut lancip yang ketat.
Pentingnya Sudut Referensi dalam Trigonometri
Fungsi trigonometri mengembalikan nilai mutlak yang sama untuk suatu sudut dan sudut referensinya, hanya tandanya yang berbeda. Ini adalah Teorema Sudut Referensi: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂), dan tan(θ) = ±tan(θ̂). Kuadran dari sudut asli menentukan tandanya.
Sudut θ
Tanda bervariasi berdasarkan kuadran
Sudut referensi θ̂
Nilai mutlak yang sama
Untuk memilih tanda yang benar, gunakan mnemonic ASTC (All Students Take Calculus, Semua Siswa Mengambil Kalkulus), yang menyebutkan fungsi-fungsi yang positif di setiap kuadran:
Semua
Kuadran I
Semua fungsi trigonometri positif.
Sinus
Kuadran II
Hanya sinus (dan kosekan) yang positif.
Tangen
Kuadran III
Hanya tangen (dan kotangen) yang positif.
Kosinus
Kuadran IV
Hanya kosinus (dan sekan) yang positif.
Dua alternatif untuk aturan yang sama: "Add Sugar To Coffee" (Tambahkan Gula Ke Kopi) dan "All Science Teachers (are) Crazy" (Semua Guru Sains Gila).
Setelah tanda ditentukan, pencarian sebenarnya mengambil alih: mengetahui bahwa sin(30°) = 1/2 secara otomatis memberi tahu bahwa sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2, dan sin(330°) = −1/2, karena keempat sudut tersebut memiliki sudut referensi yang sama, yaitu 30°. Kartu perbandingan di atas menunjukkan pola ini secara tepat di tiga kuadran yang berbeda. Inilah sebabnya menghafal sudut referensi jauh lebih efisien daripada menghafal setiap sudut secara terpisah: beberapa nilai kuadran pertama, dipadukan dengan aturan tanda ASTC, mencakup hampir semua sudut yang akan ditanyakan dalam kursus atau ujian trigonometri biasa.
Kuadran Grafik dan Fungsi Trigonometri
Dua sumbu sistem kartesius 2D membagi bidang menjadi empat kuadran. Penomoran dimulai di kuadran kanan atas, di mana kedua koordinat positif, dan berlanjut berlawanan arah jarum jam melalui II, III, dan IV. Tabel di bawah menunjukkan nilai trigonometri tepat untuk delapan sudut standar dari 0° hingga 360° (0 hingga 2π radian). Nilai-nilai ini berulang dengan perubahan tanda berdasarkan kuadran.
Setiap batas kuadran sejajar dengan sudut kuadranal: 0°, 90°, 180°, dan 270°. Membaca tabel di bawah bersama pola ASTC menunjukkan dengan tepat mengapa tanda-tanda tersebut berulang: besaran pada 30°, misalnya, muncul kembali pada 150°, 210°, dan 330°, karena keempatnya memiliki sudut referensi yang sama, dan hanya tandanya yang berubah untuk menyesuaikan kuadran tempat sudut tertentu itu berada. Ini adalah tabel yang sama yang digunakan di seluruh halaman ini, dan patut untuk kembali ke sana setiap kali tanda atau nilai pasti tertentu perlu diperiksa ulang.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Bagaimana Menemukan Sudut Referensi untuk Derajat?
Pilih rumus yang sesuai dengan kuadran sisi terminal. Setiap rumus mengembalikan sudut lancip positif antara 0° dan 90°.
0° hingga 90°
θ̂ = θ
90° hingga 180°
θ̂ = 180° − θ
180° hingga 270°
θ̂ = θ − 180°
270° hingga 360°
θ̂ = 360° − θ
Untuk menemukan sudut referensi dalam derajat, ikuti empat langkah:
- Jika sudut lebih besar dari 360°, kurangi 360° hingga berada antara 0° dan 360°.
- Identifikasi kuadran menggunakan rentang pada kartu di atas.
- Terapkan rumus yang sesuai.
- Hasilnya adalah sudut referensi Anda, selalu sudut lancip positif.
Contoh penyelesaian, 610°
- Kurangi: 610° − 360° = 250°
- Lokasikan: 250° berada di Kuadran III
- Terapkan: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Sudut referensi = 70°
Contoh penyelesaian, 144°
- Kurangi: sudah antara 0° dan 360°
- Lokasikan: 144° berada di Kuadran II
- Terapkan: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Sudut referensi = 36°
Untuk sudut di kuadran kedua, menemukan sudut referensi sama dengan menemukan sudut suplemen, keduanya berjumlah 180°.
Kedua contoh yang diselesaikan di atas mengikuti pola tiga langkah yang sama dalam kondisi awal yang sedikit berbeda. 610° memerlukan satu langkah reduksi tambahan terlebih dahulu, karena lebih besar dari satu putaran penuh, sedangkan 144° sudah berada dalam rentang 0° hingga 360° dan langsung menuju pencarian kuadran. Setelah sudut berada dalam rentang tersebut, mengidentifikasi kuadrannya hanyalah soal memeriksa di antara mana dari empat rentang batas ia berada, dan rumus yang sesuai melakukan sisanya. Perhatikan bahwa setiap dari keempat rumus dirancang untuk mengembalikan angka positif kecil: Kuadran I membiarkan sudut tetap seperti semula karena sudah lancip, sedangkan Kuadran II, III, dan IV masing-masing mengurangkan dalam arah yang mengukur jarak ke sumbu-x terdekat, bukan putaran penuh dari sumbu-x positif. Itulah seluruh gagasan di balik sudut referensi: mengubah rotasi sembarang menjadi setara kuadran pertama yang kecil dan familier.
Bagaimana Menemukan Sudut Referensi dalam Radian?
Prosedur radian mencerminkan prosedur derajat, hanya nilai batas yang berubah. Ganti 180° dengan π dan 360° dengan 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Contoh penyelesaian, 28π/9
- Kurangi: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Lokasikan: 10π/9 baru melewati π → Kuadran III
- Terapkan: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Sudut referensi = π/9
Contoh penyelesaian, 4π/3
- Kurangi: sudah antara 0 dan 2π
- Lokasikan: 4π/3 berada antara π dan 3π/2 → Kuadran III
- Terapkan: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Sudut referensi = π/3
| Sudut (rad) | Kuadran | Sudut referensi |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
Untuk sudut yang lebih besar dari 2π, atau lebih kecil dari 0, tambah atau kurangi kelipatan 2π terlebih dahulu, sama seperti kelipatan 360° dihilangkan dalam derajat, sampai hasilnya berada dalam satu putaran penuh. Kedua contoh yang diselesaikan di atas menunjukkan proses ini: 28π/9 melebihi satu putaran penuh dan memerlukan satu reduksi, sedangkan 4π/3 sudah berada antara 0 dan 2π. Karena derajat dan radian mengukur rotasi yang sama, sudut referensi yang ditemukan dalam radian selalu sesuai dengan sudut referensi yang ditemukan dalam derajat.
Bagaimana Menggunakan Kalkulator Sudut Referensi Ini?
1. Masukkan sudut
Ketik sudut apa pun ke dalam bidang input dan pilih derajat atau radian. Desimal, nilai negatif, dan sudut melebihi 360° semuanya berfungsi.
2. Baca hasilnya
Kalkulator langsung menampilkan sudut referensi, kuadran, sudut koterminal, dan tanda fungsi trigonometri, tanpa perlu tombol.
Sudut negatif ditangani secara otomatis dengan menambahkan 360° untuk menemukan ekuivalen positifnya, dan sudut yang lebih besar dari 360° dikurangi terlebih dahulu. Input radian menerima nilai desimal, dan mengganti satuan menghitung ulang segera. Anda juga dapat menyeret titik di sekitar lingkaran satuan untuk menggerakkan sisi terminal secara manual.
Berapa Sudut Referensi untuk…
Cari sudut referensi untuk sudut umum apa pun berdasarkan kuadran. Sudut khusus (30°, 45°, 60°, 90°) disorot dengan ekuivalen radian-nya.
Kuadran Pertama (0° hingga 90°)
Setiap sudut di kuadran pertama adalah sudut referensinya sendiri.
| Sudut | Sudut referensi |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Kuadran Kedua (90° hingga 180°)
Sudut referensi = 180° − sudut untuk semua sudut kuadran kedua.
| Sudut | Sudut referensi |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Kuadran Ketiga (180° hingga 270°)
Sudut referensi = sudut − 180° untuk semua sudut kuadran ketiga.
| Sudut | Sudut referensi |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Kuadran Keempat (270° hingga 360°)
Sudut referensi = 360° − sudut untuk semua sudut kuadran keempat.
| Sudut | Sudut referensi |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Bagaimana jika Sudut Lebih Besar dari 360°?
Sudut yang lebih besar dari 360° telah menyelesaikan setidaknya satu rotasi penuh. Kurangi 360° berulang kali hingga sudut berada antara 0° dan 360°, ini sama dengan menemukan sudut koterminal antara 0° dan 360°, kemudian terapkan rumus kuadran standar.
Contoh kedua: 720° − 360° = 360°, yang merupakan sudut kuadranal, sehingga sudut referensinya adalah 0°. Dalam radian, kurangi kelipatan 2π alih-alih 360°.
Langkah reduksi ini sebenarnya hanyalah menemukan sudut koterminal antara 0° dan 360° terlebih dahulu, menggunakan pengurangan yang sama persis dengan yang digunakan di seluruh kalkulator sudut koterminal di situs ini. Setelah sudut koterminal itu ditemukan, sisa prosesnya identik dengan sudut lainnya: identifikasi di kuadran mana ia berada, lalu terapkan rumus kuadran tersebut. Sudut bisa menjadi sangat besar. Sudut seperti 1080° hanya membutuhkan tiga pengurangan 360° dibandingkan satu sebelum rumus kuadran diterapkan, dan logika reduksi-lalu-terapkan yang sama ini berskala ke ukuran berapa pun tanpa berubah.
Bagaimana jika Sudut Negatif?
Sudut negatif berputar searah jarum jam dari sumbu x positif alih-alih berlawanan arah jarum jam. Untuk menemukan sudut referensi, tambahkan 360° untuk mendapatkan sudut koterminal positif, kemudian terapkan rumus standar. Untuk −110°: −110° + 360° = 250°, yang berada di Kuadran III, sehingga θ̂ = 250° − 180° = 70°. Untuk −30°: −30° + 360° = 330°, yang berada di Kuadran IV, sehingga θ̂ = 360° − 330° = 30°. Dalam radian, tambahkan 2π alih-alih 360°. Sudut referensi selalu positif, terlepas dari apakah sudut asli positif atau negatif.
Ini mencerminkan kasus sudut lebih besar dari 360° secara tepat, hanya dalam arah yang berlawanan: alih-alih mengurangkan putaran penuh untuk menurunkan sudut besar, Anda menambahkan satu putaran penuh untuk menaikkan sudut negatif ke rentang normal 0° hingga 360°. Sudut yang sangat negatif, seperti −450°, mungkin memerlukan lebih dari satu penambahan 360° sebelum jatuh ke dalam rentang tersebut, sama seperti sudut positif yang sangat besar memerlukan lebih dari satu pengurangan. Setelah sudut menjadi positif, kuadran dan sudut referensi ditemukan dengan cara yang sama persis seperti sudut lain di halaman ini.
Tabel Sudut Referensi
Tabel menunjukkan sudut referensi untuk setiap sudut utama dari 0° hingga 360°, baik dalam derajat maupun radian. Baris yang disorot menandai sudut khusus (30°, 45°, dan 60°) yang muncul berulang kali dalam trigonometri.
| Sudut (°) | Sudut (rad) | Kuadran | Ref. (°) | Ref. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Grafik Sudut Referensi
Grafik di atas menunjukkan 4 rumus sudut referensi, satu untuk setiap kuadran. Kuadran sisi terminal menentukan rumus mana yang digunakan. Keempatnya mengembalikan jenis hasil yang sama: sudut lancip positif antara 0° dan 90°.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apakah sudut referensi selalu ada?
Ya, setiap sudut memiliki sudut referensi. Untuk sudut di kuadran pertama (0° hingga 90°), sudut referensi sama dengan sudut asli. Untuk sudut kuadranal (tepatnya 0°, 90°, 180°, 270°, 360°), sudut referensi adalah 0° atau 90° tergantung posisinya. Beberapa buku teks mencatat bahwa sudut kuadranal secara teknis tidak memiliki sudut referensi dalam arti yang ketat, kalkulator ini mengembalikan 0° untuk 0°, 180°, dan 360°, serta 90° untuk 90° dan 270°.
Bisakah sudut referensi negatif?
Tidak. Sudut referensi selalu sudut lancip positif. Bahkan ketika sudut asli negatif, perhitungan sudut referensi menghasilkan hasil positif karena mengukur jarak lancip antara sisi terminal dan sumbu x.
Apakah sudut referensi selalu kurang dari 90 derajat?
Ya. Berdasarkan definisi, sudut referensi selalu kurang dari 90° (π/2 radian) untuk sudut non-kuadranal. Untuk sudut yang tepat pada sumbu, sebagian besar buku teks menganggap sudut referensi adalah 0° atau tidak terdefinisi alih-alih 90°.
Apakah sudut referensi selalu positif?
Ya. Sudut referensi selalu positif, terlepas dari apakah sudut asli positif, negatif, lebih besar dari 360°, atau dinyatakan dalam radian.
Berapa sudut referensi untuk 90 derajat?
Sudut referensi untuk 90° adalah 90°. 90° adalah sudut kuadranal, sisi terminalnya tepat berada pada sumbu y positif, dan sudut antara sisi terminal tersebut dan sumbu x adalah 90°. Beberapa buku teks memperlakukan sudut kuadranal sebagai tidak memiliki sudut referensi yang terdefinisi; kalkulator ini mengembalikan 90°.
Berapa sudut referensi untuk 150°?
Sudut referensi untuk 150° adalah 30°. 150° berada di kuadran kedua, sehingga rumus Kuadran II memberikan θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Berapa sudut referensi untuk 225°?
Sudut referensi untuk 225° adalah 45°. 225° berada di kuadran ketiga, sehingga rumus Kuadran III memberikan θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Berapa sudut referensi untuk 300°?
Sudut referensi untuk 300° adalah 60°. 300° berada di kuadran keempat, sehingga rumus Kuadran IV memberikan θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Berapa sudut referensi untuk −30°?
Sudut referensi untuk −30° adalah 30°. Pertama konversi ke sudut koterminal positif: −30° + 360° = 330°. 330° berada di Kuadran IV, sehingga θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Berapa sudut referensi untuk 90 derajat?
Sudut referensi untuk 90° adalah 90°. 90° adalah sudut kuadranal, sisi terminalnya tepat berada pada sumbu y positif, dan sudut antara sisi terminal tersebut dan sumbu x adalah 90°. Beberapa buku teks memperlakukan sudut kuadranal sebagai tidak memiliki sudut referensi yang terdefinisi; kalkulator ini mengembalikan 90°.
Berapa sudut referensi untuk 2π?
Sudut referensi untuk 2π adalah 0. 2π sama dengan rotasi penuh (360°), yang mengembalikan sisi terminal ke sumbu x positif. Karena sudut terletak pada sumbu, sudut referensi, sudut lancip ke sumbu x terdekat, adalah 0.
Berapa sudut referensi untuk 4π/3?
Sudut referensi untuk 4π/3 adalah π/3. 4π/3 setara dengan 240°, yang berada di kuadran ketiga. Rumus Kuadran III memberikan θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Apa perbedaan antara sudut referensi dan sudut koterminal?
Sudut koterminal memiliki sisi terminal yang sama dengan sudut asli, terbentuk dengan menambahkan atau mengurangi kelipatan 360° (atau 2π). Sudut referensi adalah sudut lancip antara sisi terminal dan sumbu x terdekat. Sudut koterminal sama dalam posisi; sudut referensi adalah pengukuran jarak ke sumbu x.