Kalkulator Sudut Rujukan
Menerima perpuluhan, sudut negatif dan sudut yang melebihi 360°, semuanya dikurangkan secara automatik.
Kalkulator sudut rujukan ini memulangkan sudut rujukan, kuadran, sudut koterminal dan tanda fungsi trigonometri bagi sebarang sudut, dalam darjah atau radian. Sudut negatif dan sudut yang melebihi 360° dikendalikan secara automatik.
Apakah Sudut Rujukan?, Definisi Sudut Rujukan
Sudut rujukan ialah sudut tajam positif terkecil antara sisi terminal sesuatu sudut dan bahagian paksi-x yang terdekat. Ia sentiasa antara 0° dan 90° dan ditulis sebagai θ̂ (theta-topi).
Sesuatu sudut dilukis dalam kedudukan piawai apabila sisinya awal terletak pada paksi-x positif dan ia diukur dari asalan satah koordinat. Sudut positif berputar lawan arah jam; sudut negatif berputar ikut arah jam. Sisi terminal (garis terminal) ialah tempat putaran berhenti. Sudut rujukan ialah sudut tajam positif antara sisi terminal tersebut dan paksi-x.
Oleh kerana sudut rujukan ditakrifkan berdasarkan bahagian paksi-x yang terdekat, ia tidak sekali-kali negatif dan tidak melebihi 90°. Bagi sebarang sudut bukan kuadranan dalam sistem Kartesian 2D, terdapat tepat satu sudut rujukan tajam. Sudut tajam tunggal itu ialah kunci untuk menilai setiap fungsi trigonometri bagi sudut asal.
Ambil sudut 144° sebagai contoh konkrit. Dilukis dalam kedudukan piawai, sisi terminalnya jatuh pada kuadran kedua, antara 90° dan 180°. Sudut rujukan ialah jurang tirus antara sisi terminal itu dan separuh paksi-x yang paling hampir, yang dalam kes ini adalah paksi-x negatif dan bukan positif. Menolak 180° tolak 144° memberikan 36°, jadi sudut rujukan bagi 144° adalah 36°. Logik yang sama terpakai tidak kira kuadran mana sisi terminal itu jatuh, kerana setiap kuadran mempunyai separuh paksi-x terdekatnya sendiri dan formula tolaknya sendiri. Satu-satunya pengecualian adalah sudut kuadran, iaitu sudut yang sisi terminalnya jatuh tepat pada paksi dan bukan di dalam kuadran terbuka, seperti 0°, 90°, 180°, atau 270°. Kebanyakan kalkulator, termasuk yang ini, tetap memberikan sudut rujukan 0° atau 90° bagi kes ini, walaupun sesetengah buku teks menganggapnya sebagai kes khas di luar definisi sudut tirus yang ketat.
Kepentingan Sudut Rujukan dalam Trigonometri
Fungsi trigonometri memulangkan nilai mutlak yang sama bagi suatu sudut dan sudut rujukannya, hanya tandanya berbeza. Inilah Teorem Sudut Rujukan: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) dan tan(θ) = ±tan(θ̂). Kuadran sudut asal menentukan tanda tersebut.
Sudut θ
Tanda berbeza ikut kuadran
Sudut rujukan θ̂
Nilai mutlak sama
Untuk memilih tanda yang betul, gunakan mnemonik ASTC (All Students Take Calculus), yang menamakan fungsi-fungsi yang positif dalam setiap kuadran:
Semua
Kuadran I
Semua fungsi trigonometri adalah positif.
Sinus
Kuadran II
Hanya sinus (dan kosekan) yang positif.
Tangen
Kuadran III
Hanya tangen (dan kotangen) yang positif.
Kosinus
Kuadran IV
Hanya kosinus (dan sekan) yang positif.
Dua alternatif bagi peraturan yang sama: "Add Sugar To Coffee" dan "All Science Teachers (are) Crazy."
Setelah tanda ditentukan, carian sebenar mengambil alih: mengetahui bahawa sin(30°) = 1/2 secara automatik memberitahu anda bahawa sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2, dan sin(330°) = −1/2, kerana keempat-empat sudut berkongsi sudut rujukan yang sama, iaitu 30°. Kad perbandingan di atas menunjukkan corak ini dengan tepat merentasi tiga kuadran berbeza. Inilah sebabnya menghafal sudut rujukan jauh lebih cekap berbanding menghafal setiap sudut secara berasingan: beberapa nilai kuadran pertama, digabungkan dengan peraturan tanda ASTC, meliputi hampir setiap sudut yang akan ditanya dalam kursus atau peperiksaan trigonometri biasa.
Kuadran Graf dan Fungsi Trigonometri
Dua paksi sistem Kartesian 2D membahagikan satah kepada empat kuadran. Penomboran bermula di kuadran atas kanan, di mana kedua-dua koordinat adalah positif, dan diteruskan lawan arah jam melalui II, III dan IV. Jadual di bawah menunjukkan nilai trigonometri tepat bagi lapan sudut piawai dari 0° hingga 360° (0 hingga 2π radian). Nilai-nilai ini berulang dengan perubahan tanda berdasarkan kuadran.
Setiap sempadan kuadran bertepatan dengan sudut kuadran: 0°, 90°, 180°, dan 270°. Membaca jadual di bawah bersama corak ASTC menunjukkan dengan tepat mengapa tanda berulang: magnitud pada 30°, misalnya, muncul semula pada 150°, 210°, dan 330°, kerana keempat-empatnya berkongsi sudut rujukan yang sama, dan hanya tanda yang berubah untuk sepadan dengan kuadran mana sudut tertentu itu berada. Ini adalah jadual yang sama digunakan di seluruh halaman ini, dan berbaloi untuk kembali kepadanya setiap kali tanda atau nilai tepat tertentu perlu disemak semula.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Bagaimana Mencari Sudut Rujukan untuk Darjah?
Pilih formula yang sepadan dengan kuadran sisi terminal. Setiap satu memulangkan sudut tajam positif antara 0° dan 90°.
0° hingga 90°
θ̂ = θ
90° hingga 180°
θ̂ = 180° − θ
180° hingga 270°
θ̂ = θ − 180°
270° hingga 360°
θ̂ = 360° − θ
Untuk mencari sudut rujukan dalam darjah, ikuti empat langkah:
- Jika sudut melebihi 360°, tolak 360° sehingga ia jatuh antara 0° dan 360°.
- Kenal pasti kuadran menggunakan julat dalam kad di atas.
- Aplikasi formula yang sepadan.
- Hasilnya ialah sudut rujukan anda, sentiasa sudut tajam positif.
Contoh penyelesaian, 610°
- Kurangkan: 610° − 360° = 250°
- Cari: 250° jatuh dalam Kuadran III
- Guna: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Sudut rujukan = 70°
Contoh penyelesaian, 144°
- Kurangkan: sudah antara 0° dan 360°
- Cari: 144° jatuh dalam Kuadran II
- Guna: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Sudut rujukan = 36°
Bagi sudut dalam kuadran kedua, mencari sudut rujukan adalah sama seperti mencari sudut sapuan, kedua-duanya berjumlah 180°.
Kedua-dua contoh yang diselesaikan di atas mengikuti corak tiga langkah yang sama dalam keadaan permulaan yang sedikit berbeza. 610° memerlukan satu langkah pengurangan tambahan dahulu, kerana ia lebih besar daripada satu pusingan penuh, manakala 144° sudah berada dalam julat 0° hingga 360° dan terus ke carian kuadran. Sebaik sahaja sudut berada dalam julat itu, mengenal pasti kuadrannya hanyalah soal memeriksa antara mana satu daripada empat julat sempadan ia berada, dan formula yang sepadan melakukan selebihnya. Perhatikan bahawa setiap satu daripada empat formula direka untuk memberikan nombor positif yang kecil: Kuadran I mengekalkan sudut seperti sedia ada kerana ia sudah tirus, manakala Kuadran II, III, dan IV masing-masing menolak dalam arah yang mengukur jurang ke paksi-x terdekat berbanding pusingan penuh dari paksi-x positif. Itulah keseluruhan idea di sebalik sudut rujukan: ia menukar putaran sewenang-wenangnya kepada sudut kuadran pertama yang kecil dan biasa.
Bagaimana Mencari Sudut Rujukan dalam Radian?
Prosedur radian mengikut prosedur darjah, hanya nilai sempadan yang berbeza. Gantikan 180° dengan π dan 360° dengan 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Contoh penyelesaian, 28π/9
- Kurangkan: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Cari: 10π/9 baru melepasi π → Kuadran III
- Guna: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Sudut rujukan = π/9
Contoh penyelesaian, 4π/3
- Kurangkan: sudah antara 0 dan 2π
- Cari: 4π/3 berada antara π dan 3π/2 → Kuadran III
- Guna: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Sudut rujukan = π/3
| Sudut (rad) | Kuadran | Sudut rujukan |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
Untuk sudut yang lebih besar daripada 2π, atau kurang daripada 0, tambah atau tolak gandaan 2π dahulu, sama seperti gandaan 360° dibuang dalam darjah, sehingga hasilnya berada dalam satu pusingan penuh. Kedua-dua contoh yang diselesaikan di atas menunjukkan proses ini: 28π/9 melebihi satu pusingan penuh dan memerlukan satu pengurangan, manakala 4π/3 sudah berada antara 0 dan 2π. Oleh sebab darjah dan radian mengukur putaran yang sama, sudut rujukan yang ditemui dalam radian sentiasa sepadan dengan sudut rujukan yang ditemui dalam darjah.
Bagaimana Menggunakan Kalkulator Sudut Rujukan Ini?
1. Masukkan sudut
Taip sebarang sudut ke dalam medan input dan pilih darjah atau radian. Perpuluhan, nilai negatif dan sudut melebihi 360° semuanya berfungsi.
2. Baca hasil
Kalkulator memaparkan serta-merta sudut rujukan, kuadran, sudut koterminal dan tanda fungsi trigonometri, tanpa perlu menekan butang.
Sudut negatif dikendalikan secara automatik dengan menambah 360° untuk mencari nilai positif yang setara, dan sudut yang melebihi 360° dikurangkan dahulu. Input radian menerima nilai perpuluhan, dan menukar unit akan mengira semula serta-merta. Anda juga boleh menyeret titik mengelilingi bulatan unit untuk menggerakkan sisi terminal secara manual.
Apakah Sudut Rujukan bagi…
Rujuk sudut rujukan bagi sebarang sudut lazim mengikut kuadran. Sudut khas (30°, 45°, 60°, 90°) diserlahkan dengan nilai radian setaranya.
Kuadran Pertama (0° hingga 90°)
Setiap sudut dalam kuadran pertama ialah sudut rujukannya sendiri.
| Sudut | Sudut rujukan |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Kuadran Kedua (90° hingga 180°)
Sudut rujukan = 180° − sudut bagi semua sudut kuadran kedua.
| Sudut | Sudut rujukan |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Kuadran Ketiga (180° hingga 270°)
Sudut rujukan = sudut − 180° bagi semua sudut kuadran ketiga.
| Sudut | Sudut rujukan |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Kuadran Keempat (270° hingga 360°)
Sudut rujukan = 360° − sudut bagi semua sudut kuadran keempat.
| Sudut | Sudut rujukan |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Bagaimana jika Sudut Melebihi 360°?
Sudut yang melebihi 360° telah menamatkan sekurang-kurangnya satu putaran penuh. Tolak 360° berulang kali sehingga sudut berada antara 0° dan 360°, ini sama seperti mencari sudut koterminal antara 0° dan 360°, kemudian aplikasi formula kuadran piawai.
Contoh kedua: 720° − 360° = 360°, iaitu sudut kuadranan, jadi sudut rujukan ialah 0°. Dalam radian, tolak gandaan 2π dan bukannya 360°.
Langkah pengurangan ini sebenarnya hanyalah mencari sudut koterminal antara 0° dan 360° dahulu, menggunakan penolakan yang sama seperti yang digunakan di seluruh kalkulator sudut koterminal di laman ini. Sebaik sudut koterminal itu ditemui, selebihnya proses adalah sama seperti sudut lain: kenal pasti kuadran mana ia jatuh, kemudian gunakan formula kuadran itu. Sudut boleh menjadi sangat besar. Sudut seperti 1080° hanya memerlukan tiga penolakan 360° berbanding satu sebelum formula kuadran digunakan, dan logik kurang-kemudian-gunakan yang sama ini berskala kepada saiz apa pun tanpa berubah.
Bagaimana jika Sudut Negatif?
Sudut negatif berputar ikut arah jam dari paksi-x positif dan bukannya lawan arah jam. Untuk mencari sudut rujukan, tambah 360° untuk mendapatkan sudut koterminal positif, kemudian aplikasi formula piawai. Bagi −110°: −110° + 360° = 250°, yang jatuh dalam Kuadran III, jadi θ̂ = 250° − 180° = 70°. Bagi −30°: −30° + 360° = 330°, yang jatuh dalam Kuadran IV, jadi θ̂ = 360° − 330° = 30°. Dalam radian, tambah 2π dan bukannya 360°. Sudut rujukan sentiasa positif, tanpa mengira sama ada sudut asal positif atau negatif.
Ini mencerminkan kes sudut lebih besar daripada 360° dengan tepat, hanya dalam arah bertentangan: bukannya menolak pusingan penuh untuk menurunkan sudut besar, anda menambah satu pusingan penuh untuk menaikkan sudut negatif ke dalam julat biasa 0° hingga 360°. Sudut yang sangat negatif, seperti −450°, mungkin memerlukan lebih daripada satu penambahan 360° sebelum ia jatuh dalam julat itu, sama seperti sudut positif yang sangat besar memerlukan lebih daripada satu penolakan. Sebaik sudut menjadi positif, kuadran dan sudut rujukan ditemui dengan cara yang sama seperti sudut lain di halaman ini.
Jadual Sudut Rujukan
Jadual menunjukkan sudut rujukan bagi setiap sudut utama dari 0° hingga 360°, dalam darjah dan radian. Baris yang diserlahkan menandakan sudut khas (30°, 45° dan 60°) yang muncul berulang kali dalam trigonometri.
| Sudut (°) | Sudut (rad) | Kuadran | Ruj. (°) | Ruj. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Carta Sudut Rujukan
Carta di atas menunjukkan 4 formula sudut rujukan, satu bagi setiap kuadran. Kuadran sisi terminal menentukan formula yang akan digunakan. Kesemua 4 memulangkan jenis hasil yang sama: sudut tajam positif antara 0° dan 90°.
Soalan Lazim
Adakah sudut rujukan sentiasa wujud?
Ya, setiap sudut mempunyai sudut rujukan. Bagi sudut dalam kuadran pertama (0° hingga 90°), sudut rujukan sama dengan sudut asal. Bagi sudut kuadranan (tepatnya 0°, 90°, 180°, 270°, 360°), sudut rujukan ialah 0° atau 90° bergantung pada kedudukan. Sesetengah buku teks menyatakan bahawa sudut kuadranan secara teknikal tidak mempunyai sudut rujukan dalam erti kata yang ketat, kalkulator ini memulangkan 0° bagi 0°, 180° dan 360°, serta 90° bagi 90° dan 270°.
Bolehkah sudut rujukan negatif?
Tidak. Sudut rujukan sentiasa sudut tajam positif. Walaupun sudut asal negatif, pengiraan sudut rujukan menghasilkan hasil positif kerana ia mengukur jarak tajam antara sisi terminal dan paksi-x.
Adakah sudut rujukan sentiasa kurang daripada 90 darjah?
Ya. Mengikut takrif, sudut rujukan sentiasa kurang daripada 90° (π/2 radian) bagi sudut bukan kuadranan. Bagi sudut yang tepat pada paksi, kebanyakan buku teks menganggap sudut rujukan sebagai 0° atau tidak ditakrifkan dan bukannya 90°.
Adakah sudut rujukan sentiasa positif?
Ya. Sudut rujukan sentiasa positif, tanpa mengira sama ada sudut asal positif, negatif, melebihi 360°, atau dinyatakan dalam radian.
Apakah sudut rujukan bagi 90 darjah?
Sudut rujukan bagi 90° ialah 90°. 90° ialah sudut kuadranan, sisinya terminal jatuh tepat pada paksi-y positif, dan sudut antara sisi terminal tersebut dan paksi-x ialah 90°. Sesetengah buku teks menganggap sudut kuadranan sebagai tidak mempunyai sudut rujukan yang ditakrifkan; kalkulator ini memulangkan 90°.
Apakah sudut rujukan bagi 150°?
Sudut rujukan bagi 150° ialah 30°. 150° jatuh dalam kuadran kedua, jadi formula Kuadran II memberikan θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Apakah sudut rujukan bagi 225°?
Sudut rujukan bagi 225° ialah 45°. 225° jatuh dalam kuadran ketiga, jadi formula Kuadran III memberikan θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Apakah sudut rujukan bagi 300°?
Sudut rujukan bagi 300° ialah 60°. 300° jatuh dalam kuadran keempat, jadi formula Kuadran IV memberikan θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Apakah sudut rujukan bagi −30°?
Sudut rujukan bagi −30° ialah 30°. Tukarkan dahulu kepada sudut koterminal positif: −30° + 360° = 330°. 330° jatuh dalam Kuadran IV, jadi θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Apakah sudut rujukan bagi 90 darjah?
Sudut rujukan bagi 90° ialah 90°. 90° ialah sudut kuadranan, sisinya terminal jatuh tepat pada paksi-y positif, dan sudut antara sisi terminal tersebut dan paksi-x ialah 90°. Sesetengah buku teks menganggap sudut kuadranan sebagai tidak mempunyai sudut rujukan yang ditakrifkan; kalkulator ini memulangkan 90°.
Apakah sudut rujukan bagi 2π?
Sudut rujukan bagi 2π ialah 0. 2π bersamaan dengan satu putaran penuh (360°), yang memulangkan sisi terminal ke paksi-x positif. Oleh kerana sudut terletak pada paksi, sudut rujukan, sudut tajam ke paksi-x terdekat, ialah 0.
Apakah sudut rujukan bagi 4π/3?
Sudut rujukan bagi 4π/3 ialah π/3. 4π/3 bersamaan dengan 240°, yang jatuh dalam kuadran ketiga. Formula Kuadran III memberikan θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Apakah perbezaan antara sudut rujukan dan sudut koterminal?
Sudut koterminal berkongsi sisi terminal yang sama dengan sudut asal, ia terbentuk dengan menambah atau menolak gandaan 360° (atau 2π). Sudut rujukan ialah sudut tajam antara sisi terminal dan paksi-x terdekat. Sudut koterminal adalah sama dari segi kedudukan; sudut rujukan ialah ukuran jarak ke paksi-x.