Calcolatore di angolo di riferimento

L'idea

Che cos'è un angolo di riferimento?, Definizione di angolo di riferimento

Un angolo di riferimento è il più piccolo angolo acuto positivo tra il lato terminale di un angolo e la parte più vicina dell'asse x. È sempre compreso tra 0° e 90° e si scrive θ̂ (theta con cappello).

Un angolo è disegnato in posizione standard quando il suo lato iniziale giace sull'asse x positivo ed è misurato dall'origine del piano coordinato. Un angolo positivo ruota in senso antiorario; un angolo negativo ruota in senso orario. Il lato terminale (la linea terminale) è dove si ferma la rotazione. L'angolo di riferimento è l'angolo acuto positivo tra quel lato terminale e l'asse x.

Poiché l'angolo di riferimento è definito rispetto alla parte più vicina dell'asse x, non è mai negativo e mai maggiore di 90°. Per qualsiasi angolo non quadrantale nel sistema cartesiano 2D, esiste esattamente un angolo acuto di riferimento. Quel singolo angolo acuto è la chiave per valutare ogni funzione trigonometrica dell'angolo originale.

Prendiamo l'angolo di 144° come esempio concreto. Disegnato in posizione standard, il suo lato terminale cade nel secondo quadrante, tra 90° e 180°. L'angolo di riferimento è lo spazio acuto tra quel lato terminale e la metà più vicina dell'asse x, che in questo caso è l'asse x negativo piuttosto che quello positivo. Sottraendo 180° meno 144° si ottiene 36°, quindi l'angolo di riferimento per 144° è 36°. La stessa logica si applica indipendentemente dal quadrante in cui cade un lato terminale, poiché ogni quadrante ha la propria metà dell'asse x più vicina e la propria formula di sottrazione. L'unica eccezione è un angolo quadrantale, il cui lato terminale cade esattamente su un asse invece che all'interno di un quadrante aperto, come 0°, 90°, 180° o 270°. La maggior parte delle calcolatrici, inclusa questa, restituisce comunque un angolo di riferimento di 0° o 90° in questi casi, anche se alcuni libri di testo li trattano come un caso speciale fuori dalla stretta definizione di angolo acuto.

Il piano cartesiano

Quadranti del grafico e funzioni trigonometriche

I due assi del sistema cartesiano 2D dividono il piano in quattro quadranti. La numerazione inizia nel quadrante in alto a destra, dove entrambe le coordinate sono positive, e continua in senso antiorario attraverso II, III e IV. La tabella seguente mostra i valori trigonometrici esatti per gli otto angoli standard da 0° a 360° (da 0 a 2π radianti). Questi valori si ripetono con cambi di segno in base al quadrante.

Ogni confine di quadrante coincide con un angolo quadrantale: 0°, 90°, 180° e 270°. Leggere la tabella sotto insieme allo schema ASTC mostra esattamente perché i segni si ripetono: la magnitudine a 30°, per esempio, riappare a 150°, 210° e 330°, poiché tutti e quattro condividono lo stesso angolo di riferimento, e cambia solo il segno per corrispondere al quadrante in cui si trova quello specifico angolo. Questa è la stessa tabella usata in tutto il resto di questa pagina, e vale la pena tornarci ogni volta che serve verificare un segno specifico o un valore esatto.

Angoli negativi

Cosa succede se l'angolo è negativo?

Gli angoli negativi ruotano in senso orario dall'asse x positivo invece che in senso antiorario. Per trovare l'angolo di riferimento, aggiungi 360° per ottenere l'angolo coterminale positivo, poi applica la formula standard. Per −110°: −110° + 360° = 250°, che cade nel Quadrante III, quindi θ̂ = 250° − 180° = 70°. Per −30°: −30° + 360° = 330°, che cade nel Quadrante IV, quindi θ̂ = 360° − 330° = 30°. In radianti, aggiungi 2π invece di 360°. Gli angoli di riferimento sono sempre positivi, indipendentemente dal fatto che l'angolo originale fosse positivo o negativo.

Questo rispecchia esattamente il caso degli angoli superiori a 360°, solo nella direzione opposta: invece di sottrarre giri completi per abbassare un angolo grande, si aggiunge un giro completo per portare un angolo negativo nell'intervallo normale da 0° a 360°. Un angolo molto negativo, come −450°, potrebbe richiedere più di un'addizione di 360° prima di rientrare in quell'intervallo, proprio come un angolo positivo molto grande richiede più di una sottrazione. Una volta che l'angolo è positivo, il quadrante e l'angolo di riferimento si trovano esattamente come per qualsiasi altro angolo di questa pagina.

Grafico a colpo d'occhio

Grafico dell'angolo di riferimento

Domande

Domande frequenti