Калкулатор за референтен ъгъл
Приема десетични числа, отрицателни ъгли и ъгли, по-големи от 360°, всички се намаляват автоматично.
Този калкулатор за референтен ъгъл връща референтния ъгъл, квадранта, котерминалния ъгъл и знаците на тригонометричните функции за всеки ъгъл, в градуси или радиани. Отрицателните ъгли и ъглите, по-големи от 360°, се обработват автоматично.
Какво е референтен ъгъл?, Дефиниция на референтен ъгъл
Референтният ъгъл е най-малкият положителен остър ъгъл между терминалната страна на ъгъл и най-близката част на x-оста. Той винаги е между 0° и 90° и се записва θ̂ (тета-шапка).
Ъгъл се чертае в стандартно положение, когато началната му страна лежи на положителната x-ос и се измерва от началото на координатната равнина. Положителен ъгъл се завърта обратно на часовниковата стрелка; отрицателен ъгъл се завърта по часовниковата стрелка. Терминалната страна (терминалната линия) е мястото, където завъртането спира. Референтният ъгъл е положителният остър ъгъл между тази терминална страна и x-оста.
Тъй като референтният ъгъл е дефиниран спрямо най-близката част на x-оста, той никога не е отрицателен и никога не е по-голям от 90°. За всеки неквадрантален ъгъл в 2D декартовата система съществува точно един остър референтен ъгъл. Този единствен остър ъгъл е ключът към оценяването на всяка тригонометрична функция на първоначалния ъгъл.
Нека вземем ъгъла 144° като конкретен пример. Начертан в стандартно положение, крайната му страна попада във втория квадрант, между 90° и 180°. Референтният ъгъл е острата междина между тази крайна страна и най-близката половина на оста x, която в този случай е отрицателната, а не положителната ос x. Изваждайки 180° минус 144°, получаваме 36°, така че референтният ъгъл за 144° е 36°. Същата логика се прилага независимо от квадранта, в който попада крайната страна, защото всеки квадрант има своя собствена най-близка половина на оста x и своя собствена формула за изваждане. Единственото изключение е осевият ъгъл, чиято крайна страна попада точно върху ос, а не вътре в отворен квадрант, например 0°, 90°, 180° или 270°. Повечето калкулатори, включително този, все пак връщат референтен ъгъл от 0° или 90° в тези случаи, макар че някои учебници ги третират като специален случай извън строгото определение за остър ъгъл.
Значение на референтните ъгли в тригонометрията
Тригонометрична функция връща същата абсолютна стойност за ъгъл и неговия референтен ъгъл, различава се само знакът. Това е Теоремата за референтния ъгъл: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) и tan(θ) = ±tan(θ̂). Квадрантът на първоначалния ъгъл определя знака.
Ъгъл θ
Знакът варира според квадранта
Референтен ъгъл θ̂
Съща абсолютна стойност
За да изберете правилния знак, използвайте мнемоничното правило ASTC (All Students Take Calculus), което назовава функциите, които са положителни във всеки квадрант:
Всички
Квадрант I
Всички тригонометрични функции са положителни.
Синус
Квадрант II
Само синусът (и косекансът) е положителен.
Тангенс
Квадрант III
Само тангенсът (и котангенсът) е положителен.
Косинус
Квадрант IV
Само косинусът (и секансът) е положителен.
Две алтернативи за същото правило: „Add Sugar To Coffee“ и „All Science Teachers (are) Crazy“.
След като знакът е определен, влиза в действие самото търсене: знанието, че sin(30°) = 1/2, автоматично показва, че sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2, и sin(330°) = −1/2, защото всичките четири ъгъла имат един и същ референтен ъгъл от 30°. Картата за сравнение по-горе показва точно този модел в три различни квадранта. Затова запомнянето на референтни ъгли е много по-ефективно от запомнянето на всеки ъгъл поотделно: няколко стойности от първия квадрант, съчетани с правилото за знаци ASTC, покриват почти всеки ъгъл, който típичен курс или изпит по тригонометрия би поискал.
Графични квадранти и тригонометрични функции
Двете оси на 2D декартовата система разделят равнината на четири квадранта. Номерирането започва в горния десен квадрант, където и двете координати са положителни, и продължава обратно на часовниковата стрелка през II, III и IV. Таблицата по-долу показва точните тригонометрични стойности за осемте стандартни ъгли от 0° до 360° (от 0 до 2π радиана). Тези стойности се повтарят със смяна на знаците според квадранта.
Всяка граница на квадрант съвпада с осеви ъгъл: 0°, 90°, 180° и 270°. Разчитането на таблицата по-долу заедно с модела ASTC показва точно защо знаците се повтарят: величината при 30°, например, се появява отново при 150°, 210° и 330°, защото всичките четири имат един и същ референтен ъгъл, а само знакът се променя, за да съответства на квадранта, в който се намира този конкретен ъгъл. Това е същата таблица, използвана в останалата част на тази страница, и си струва да се връщате към нея винаги, когато трябва да проверите конкретен знак или точна стойност.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Как да намерите референтния ъгъл за градуси?
Изберете формулата, която съответства на квадранта на терминалната страна. Всяка връща положителен остър ъгъл между 0° и 90°.
0° до 90°
θ̂ = θ
90° до 180°
θ̂ = 180° − θ
180° до 270°
θ̂ = θ − 180°
270° до 360°
θ̂ = 360° − θ
За да намерите референтен ъгъл в градуси, следвайте четири стъпки:
- Ако ъгълът е по-голям от 360°, извадете 360°, докато попадне между 0° и 360°.
- Идентифицирайте квадранта, използвайки диапазоните в картите по-горе.
- Приложете съответната формула.
- Резултатът е вашият референтен ъгъл, винаги положителен остър ъгъл.
Решен пример, 610°
- Намаляване: 610° − 360° = 250°
- Локализиране: 250° попада в Квадрант III
- Прилагане: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Референтен ъгъл = 70°
Решен пример, 144°
- Намаляване: вече между 0° и 360°
- Локализиране: 144° попада в Квадрант II
- Прилагане: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Референтен ъгъл = 36°
За ъглите във втория квадрант намирането на референтния ъгъл е същото като намирането на допълващия ъгъл, двата се събират до 180°.
Двата решени примера по-горе следват едната и съшата трипосочна схема при леко различни начални условия. 610° изисква първо допълнителна крачка на намаление, тъй като е по-голям от пълно завъртане, докато 144° вече е в диапазона от 0° до 360° и преминава директно към определяне на квадранта. Щом ъгъл попадне в този диапазон, определянето на квадранта му е просто въпрос на проверка между кои от четирите гранични диапазона попада, а съответната формула прави останалото. Забележете, че всяка от четирите формули е създадена да връща малко положително число: квадрант I запазва ъгъла такъв, какъв е, защото вече е остър, докато квадранти II, III и IV изваждат всеки в посока, която измерва разстоянието до най-близката ос x, а не пълния завой от положителната ос x. Това е цялата идея зад референтния ъгъл: той превръща произволно завъртане в малък, познат еквивалент от първия квадрант.
Как да намерите референтния ъгъл в радиани?
Процедурата в радиани огледално повтаря процедурата в градуси, променят се само граничните стойности. Заменете 180° с π и 360° с 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Решен пример, 28π/9
- Намаляване: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Локализиране: 10π/9 е малко след π → Квадрант III
- Прилагане: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Референтен ъгъл = π/9
Решен пример, 4π/3
- Намаляване: вече между 0 и 2π
- Локализиране: 4π/3 е между π и 3π/2 → Квадрант III
- Прилагане: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Референтен ъгъл = π/3
| Ъгъл (rad) | Квадрант | Референтен ъгъл |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
За ъгли, по-големи от 2π, или по-малки от 0, първо съберете или изваждайте кратни на 2π, по същия начин както се премахват кратни на 360° в градуси, докато резултатът попадне в рамките на едно пълно завъртане. Двата решени примера по-горе показват този процес: 28π/9 надхвърля пълно завъртане и се нуждае от едно намаление, докато 4π/3 вече е между 0 и 2π. Тъй като градусите и радианите измерват едно и също завъртане, референтен ъгъл, намерен в радиани, винаги съвпада с намерения в градуси.
Как да използвате този калкулатор за референтен ъгъл?
1. Въведете ъгъла
Въведете всеки ъгъл в полето за въвеждане и изберете градуси или радиани. Десетични числа, отрицателни стойности и ъгли над 360°, всички работят.
2. Прочетете резултатите
Калкулаторът незабавно показва референтния ъгъл, квадранта, котерминалния ъгъл и знаците на тригонометричните функции, не е нужно да натискате бутон.
Отрицателните ъгли се обработват автоматично чрез добавяне на 360°, за да се намери положителният еквивалент, а ъглите, по-големи от 360°, се намаляват първо. Въвеждането в радиани приема десетични стойности, а при смяна на единицата се преизчислява незабавно. Можете също да завлечете точката по единичната окръжност, за да преместите терминалната страна ръчно.
Какъв е референтният ъгъл за…
Потърсете референтния ъгъл за всеки често срещан ъгъл по квадрант. Специалните ъгли (30°, 45°, 60°, 90°) са подчертани с техните еквиваленти в радиани.
Първи Квадрант (0° до 90°)
Всеки ъгъл в първия квадрант е свой собствен референтен ъгъл.
| Ъгъл | Референтен ъгъл |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Втори Квадрант (90° до 180°)
Референтен ъгъл = 180° − ъгъл за всички ъгли във втория квадрант.
| Ъгъл | Референтен ъгъл |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Трети Квадрант (180° до 270°)
Референтен ъгъл = ъгъл − 180° за всички ъгли в третия квадрант.
| Ъгъл | Референтен ъгъл |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Четвърти Квадрант (270° до 360°)
Референтен ъгъл = 360° − ъгъл за всички ъгли в четвъртия квадрант.
| Ъгъл | Референтен ъгъл |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Какво става, ако ъгълът е по-голям от 360°?
Ъгъл, по-голям от 360°, е извършил поне едно пълно завъртане. Извадете 360° многократно, докато ъгълът бъде между 0° и 360°, това е същото като намирането на котерминалния ъгъл между 0° и 360°, и след това приложете стандартната формула за квадранта.
Втори пример: 720° − 360° = 360°, което е квадрантален ъгъл, така че референтният ъгъл е 0°. В радиани извадете кратни на 2π вместо 360°.
Тази стъпка на намаление всъщност е просто намиране на котерминалния ъгъл между 0° и 360° първо, като се използва точно същото изваждане, използвано в целия калкулатор за котерминални ъгли на този сайт. След като този котерминален ъгъл бъде намерен, останалата част от процеса е идентична с всеки друг ъгъл: определете в кой квадрант попада, след което приложете формулата на този квадрант. Ъглите могат да бъдат произволно големи. Ъгъл като 1080° просто изисква три изваждания на 360° вместо едно, преди формулата на квадранта да влезе в действие, и същата логика на намаление, последвано от прилагане, се мащабира до всеки размер без промяна.
Какво става, ако ъгълът е отрицателен?
Отрицателните ъгли се завъртат по часовниковата стрелка от положителната x-ос вместо обратно на часовниковата стрелка. За да намерите референтния ъгъл, добавете 360°, за да получите положителния котерминален ъгъл, и след това приложете стандартната формула. За −110°: −110° + 360° = 250°, което попада в Квадрант III, така че θ̂ = 250° − 180° = 70°. За −30°: −30° + 360° = 330°, което попада в Квадрант IV, така че θ̂ = 360° − 330° = 30°. В радиани добавете 2π вместо 360°. Референтните ъгли винаги са положителни, независимо дали първоначалният ъгъл е бил положителен или отрицателен.
Това отразява точно случая с ъгли по-големи от 360°, само в обратна посока: вместо да изваждате пълни завъртания, за да намалите голям ъгъл, добавяте пълно завъртане, за да повдигнете отрицателен ъгъл в нормалния диапазон от 0° до 360°. Много отрицателен ъгъл, като −450°, може да изисква повече от едно добавяне на 360°, преди да попадне в този диапазон, точно както много голям положителен ъгъл изисква повече от едно изваждане. След като ъгълът стане положителен, квадрантът и референтният ъгъл се намират по абсолютно същия начин, както при всеки друг ъгъл на тази страница.
Таблица за референтен ъгъл
Таблицата показва референтния ъгъл за всеки основен ъгъл от 0° до 360°, както в градуси, така и в радиани. Подчертаните редове маркират специалните ъгли (30°, 45° и 60°), които се появяват многократно в тригонометрията.
| Ъгъл (°) | Ъгъл (rad) | Квадрант | Реф. (°) | Реф. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Графика за референтен ъгъл
Графиката по-горе показва 4-те формули за референтен ъгъл, по една за всеки квадрант. Квадрантът на терминалната страна определя коя формула да се използва. Всичките 4 връщат същия вид резултат: положителен остър ъгъл между 0° и 90°.
Често задавани въпроси
Съществува ли винаги референтен ъгъл?
Да, всеки ъгъл има референтен ъгъл. За ъглите в първия квадрант (0° до 90°) референтният ъгъл е равен на първоначалния ъгъл. За квадранталните ъгли (точно 0°, 90°, 180°, 270°, 360°) референтният ъгъл е 0° или 90° в зависимост от позицията. Някои учебници отбелязват, че квадранталните ъгли технически нямат референтни ъгли в строг смисъл, този калкулатор връща 0° за 0°, 180° и 360°, и 90° за 90° и 270°.
Може ли референтен ъгъл да бъде отрицателен?
Не. Референтният ъгъл винаги е положителен остър ъгъл. Дори когато първоначалният ъгъл е отрицателен, изчислението на референтния ъгъл дава положителен резултат, защото измерва острото разстояние между терминалната страна и x-оста.
По-малък ли е референтният ъгъл винаги от 90 градуса?
Да. По дефиниция референтният ъгъл винаги е по-малък от 90° (π/2 радиана) за неквадрантални ъгли. За ъгли точно на осите повечето учебници смятат, че референтният ъгъл е 0° или недефиниран вместо 90°.
Референтните ъгли винаги ли са положителни?
Да. Референтните ъгли винаги са положителни, независимо дали първоначалният ъгъл е бил положителен, отрицателен, по-голям от 360° или изразен в радиани.
Какъв е референтният ъгъл за 90 градуса?
Референтният ъгъл за 90° е 90°. 90° е квадрантален ъгъл, терминалната му страна попада точно на положителната y-оса, а ъгълът между тази терминална страна и x-оста е 90°. Някои учебници разглеждат квадранталните ъгли като такива без дефиниран референтен ъгъл; този калкулатор връща 90°.
Какъв е референтният ъгъл за 150°?
Референтният ъгъл за 150° е 30°. 150° попада във втория квадрант, така че формулата за Квадрант II дава θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Какъв е референтният ъгъл за 225°?
Референтният ъгъл за 225° е 45°. 225° попада в третия квадрант, така че формулата за Квадрант III дава θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Какъв е референтният ъгъл за 300°?
Референтният ъгъл за 300° е 60°. 300° попада в четвъртия квадрант, така че формулата за Квадрант IV дава θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Какъв е референтният ъгъл за −30°?
Референтният ъгъл за −30° е 30°. Първо преобразувайте в положителен котерминален ъгъл: −30° + 360° = 330°. 330° попада в Квадрант IV, така че θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Какъв е референтният ъгъл за 90 градуса?
Референтният ъгъл за 90° е 90°. 90° е квадрантален ъгъл, терминалната му страна попада точно на положителната y-оса, а ъгълът между тази терминална страна и x-оста е 90°. Някои учебници разглеждат квадранталните ъгли като такива без дефиниран референтен ъгъл; този калкулатор връща 90°.
Какъв е референтният ъгъл за 2π?
Референтният ъгъл за 2π е 0. 2π е равно на пълно завъртане (360°), което връща терминалната страна към положителната x-ос. Тъй като ъгълът лежи на оста, референтният ъгъл, острият ъгъл до най-близката x-оса, е 0.
Какъв е референтният ъгъл за 4π/3?
Референтният ъгъл за 4π/3 е π/3. 4π/3 е еквивалентно на 240°, което попада в третия квадрант. Формулата за Квадрант III дава θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Каква е разликата между референтен ъгъл и котерминален ъгъл?
Котерминалният ъгъл споделя същата терминална страна като първоначалния ъгъл, той се образува чрез добавяне или изваждане на кратни на 360° (или 2π). Референтният ъгъл е острият ъгъл между терминалната страна и най-близката x-оса. Котерминалните ъгли са равни по позиция; референтният ъгъл е мярка за разстояние до x-оста.