Referensvinkelberäknare
Accepterar decimaler, negativa vinklar och vinklar större än 360°, alla reduceras automatiskt.
Denna referensvinkelberäknare returnerar referensvinkeln, kvadranten, coterminala vinkeln och tecknen på trigonometriska funktioner för vilken vinkel som helst, i grader eller radianer. Negativa vinklar och vinklar större än 360° hanteras automatiskt.
Vad är en referensvinkel?, Referensvinkeldefinition
En referensvinkel är den minsta positiva spetsiga vinkeln mellan terminalsidan för en vinkel och närmaste del av x-axeln. Den är alltid mellan 0° och 90° och skrivs θ̂ (theta-hatt).
En vinkel ritas i standardposition när dess initiala sida ligger på den positiva x-axeln och den mäts från origo i koordinatplanet. En positiv vinkel roterar moturs; en negativ vinkel roterar medurs. Terminalsidan (terminallinjen) är där rotationen stannar. Referensvinkeln är den positiva spetsiga vinkeln mellan terminalsidan och x-axeln.
Eftersom referensvinkeln definieras mot närmaste del av x-axeln, är den aldrig negativ och aldrig större än 90°. För varje icke-kvadrantal vinkel i det 2D kartesiska systemet finns exakt en spetsig referensvinkel. Denna enda spetsiga vinkel är nyckeln till att utvärdera varje trigonometrisk funktion av den ursprungliga vinkeln.
Ta vinkeln 144° som ett konkret exempel. Ritad i standardläge hamnar dess slutben i den andra kvadranten, mellan 90° och 180°. Referensvinkeln är den spetsiga öppningen mellan detta slutben och den närmaste halvan av x-axeln, vilket i detta fall är den negativa snarare än den positiva x-axeln. Subtraherar man 180° minus 144° får man 36°, så referensvinkeln för 144° är 36°. Samma logik gäller oavsett vilken kvadrant ett slutben hamnar i, eftersom varje kvadrant har sin egen närmaste x-axelhalva och sin egen subtraktionsformel. Det enda undantaget är en kvadrantal vinkel, en vars slutben hamnar exakt på en axel istället för inuti en öppen kvadrant, till exempel 0°, 90°, 180° eller 270°. De flesta räknare, inklusive denna, returnerar ändå en referensvinkel på 0° eller 90° i dessa fall, även om vissa läroböcker behandlar dem som ett specialfall utanför den strikta definitionen av en spetsig vinkel.
Betydelsen av referensvinklar i trigonometri
En trigonometrisk funktion returnerar samma absolutbelopp för en vinkel och dess referensvinkel, bara tecknet skiljer sig. Detta är Referensvinkelsatsen: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) och tan(θ) = ±tan(θ̂). Kvadranten för den ursprungliga vinkeln avgör tecknet.
Vinkel θ
Tecknet varierar efter kvadrant
Referensvinkel θ̂
Samma absolutbelopp
För att välja rätt tecken, använd minnesregeln ASTC (All Students Take Calculus), som anger vilka funktioner som är positiva i varje kvadrant:
Alla
Kvadrant I
Alla trigonometriska funktioner är positiva.
Sinus
Kvadrant II
Bara sinus (och cosekans) är positivt.
Tangens
Kvadrant III
Bara tangens (och kotangens) är positivt.
Cosinus
Kvadrant IV
Bara cosinus (och sekans) är positivt.
Två alternativ för samma regel: "Add Sugar To Coffee" och "All Science Teachers (are) Crazy."
När tecknet är fastställt tar den egentliga uppslagningen vid: att veta att sin(30°) = 1/2 talar automatiskt om att sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2 och sin(330°) = −1/2, eftersom alla fyra vinklarna delar samma referensvinkel på 30°. Jämförelsekortet ovan visar exakt detta mönster i tre olika kvadranter. Det är därför det är mycket effektivare att memorera referensvinklar än att memorera varje vinkel separat: en handfull värden från första kvadranten, tillsammans med ASTC-teckenregeln, täcker nästan varje vinkel som en vanlig trigonometrikurs eller tentamen kan tänkas fråga om.
Grafkvadranter och trigonometriska funktioner
De två axlarna i det 2D kartesiska systemet delar planet i fyra kvadranter. Numreringen börjar i den övre högra kvadranten, där båda koordinaterna är positiva, och fortsätter moturs genom II, III och IV. Tabellen nedan visar exakta trigonometriska värden för de åtta standardvinklarna från 0° till 360° (0 till 2π radianer). Dessa värden upprepas med teckenändringar baserat på kvadranten.
Varje kvadrantgräns sammanfaller med en kvadrantal vinkel: 0°, 90°, 180° och 270°. Att läsa tabellen nedan tillsammans med ASTC-mönstret visar exakt varför tecknen upprepas: storleken vid 30°, till exempel, dyker upp igen vid 150°, 210° och 330°, eftersom alla fyra delar samma referensvinkel, och bara tecknet ändras för att matcha vilken kvadrant just den vinkeln befinner sig i. Det är samma tabell som används i resten av denna sida, och det är värt att återvända till den varje gång ett specifikt tecken eller exakt värde behöver dubbelkollas.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Hur hittar man referensvinkeln för grader?
Välj formeln som matchar kvadranten för terminalsidan. Varje returnerar en positiv spetsig vinkel mellan 0° och 90°.
0° till 90°
θ̂ = θ
90° till 180°
θ̂ = 180° − θ
180° till 270°
θ̂ = θ − 180°
270° till 360°
θ̂ = 360° − θ
För att hitta en referensvinkel i grader, följ fyra steg:
- Om vinkeln är större än 360°, subtrahera 360° tills den faller mellan 0° och 360°.
- Identifiera kvadranten med hjälp av intervallen i korten ovan.
- Tillämpa matchande formel.
- Resultatet är din referensvinkel, alltid en positiv spetsig vinkel.
Löst exempel, 610°
- Reducera: 610° − 360° = 250°
- Lokalisera: 250° faller i Kvadrant III
- Tillämpa: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Referensvinkel = 70°
Löst exempel, 144°
- Reducera: redan mellan 0° och 360°
- Lokalisera: 144° faller i Kvadrant II
- Tillämpa: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Referensvinkel = 36°
För vinklar i andra kvadranten är att hitta referensvinkeln detsamma som att hitta den kompletterande vinkeln, de två summerar till 180°.
Båda de lösta exemplen ovan följer samma tre-stegsmönster under lite olika startvillkor. 610° behöver först ett extra reduktionssteg eftersom det är större än ett helt varv, medan 144° redan ligger inom intervallet 0° till 360° och går direkt till kvadrantsökningen. När en vinkel ligger inom det intervallet handlar det bara om att kontrollera vilket av de fyra gränsintervallen den hamnar mellan, sedan gör den matchande formeln resten. Notera att var och en av de fyra formlerna är utformad för att ge ett litet, positivt tal: Kvadrant I lämnar vinkeln som den är eftersom den redan är spetsig, medan Kvadrant II, III och IV var och en subtraherar i en riktning som mäter avståndet till närmaste x-axel istället för hela svepet från den positiva x-axeln. Det är hela idén bakom en referensvinkel: den omvandlar en godtycklig rotation till en liten, bekant motsvarighet i första kvadranten.
Hur hittar man referensvinkeln i radianer?
Proceduren för radianer speglar proceduren för grader, bara gränsvärdena ändras. Ersätt 180° med π och 360° med 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Löst exempel, 28π/9
- Reducera: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Lokalisera: 10π/9 är precis förbi π → Kvadrant III
- Tillämpa: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Referensvinkel = π/9
Löst exempel, 4π/3
- Reducera: redan mellan 0 och 2π
- Lokalisera: 4π/3 är mellan π och 3π/2 → Kvadrant III
- Tillämpa: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Referensvinkel = π/3
| Vinkel (rad) | Kvadrant | Referensvinkel |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
För vinklar större än 2π, eller mindre än 0, addera eller subtrahera först multiplar av 2π, på samma sätt som multiplar av 360° tas bort i grader, tills resultatet hamnar inom ett helt varv. De två lösta exemplen ovan visar denna process: 28π/9 överstiger ett helt varv och behöver en reduktion, medan 4π/3 redan ligger mellan 0 och 2π. Eftersom grader och radianer mäter samma rotation, matchar en referensvinkel funnen i radianer alltid den som hittas i grader.
Hur använder man denna referensvinkelberäknare?
1. Ange vinkeln
Skriv vilken vinkel som helst i inmatningsfältet och välj grader eller radianer. Decimaler, negativa värden och vinklar över 360° fungerar.
2. Läs resultaten
Beräknaren visar omedelbart referensvinkeln, kvadranten, coterminala vinkeln och tecknen på trigonometriska funktioner, ingen knapp behövs.
Negativa vinklar hanteras automatiskt genom att addera 360° för att hitta den positiva motsvarigheten, och vinklar större än 360° reduceras först. Radianinmatning accepterar decimalvärden, och vid byte av enhet räknas om omedelbart. Du kan också dra punkten runt enhetscirkeln för att flytta terminalsidan för hand.
Vad är referensvinkeln för…
Slå upp referensvinkeln för vilken vanlig vinkel som helst efter kvadrant. Speciella vinklar (30°, 45°, 60°, 90°) markeras med sina radianmotsvarigheter.
Första kvadranten (0° till 90°)
Varje vinkel i första kvadranten är sin egen referensvinkel.
| Vinkel | Referensvinkel |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Andra kvadranten (90° till 180°)
Referensvinkel = 180° − vinkel för alla vinklar i andra kvadranten.
| Vinkel | Referensvinkel |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Tredje kvadranten (180° till 270°)
Referensvinkel = vinkel − 180° för alla vinklar i tredje kvadranten.
| Vinkel | Referensvinkel |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Fjärde kvadranten (270° till 360°)
Referensvinkel = 360° − vinkel för alla vinklar i fjärde kvadranten.
| Vinkel | Referensvinkel |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Vad händer om vinkeln är större än 360°?
En vinkel större än 360° har genomfört minst en full rotation. Subtrahera 360° upprepade gånger tills vinkeln är mellan 0° och 360°, detta är detsamma som att hitta coterminala vinkeln mellan 0° och 360°, och tillämpa sedan standardformeln för kvadranten.
Ett andra exempel: 720° − 360° = 360°, vilket är en kvadrantal vinkel, så referensvinkeln är 0°. I radianer, subtrahera multipler av 2π istället för 360°.
Detta reduktionssteg är egentligen bara att först hitta den coterminala vinkeln mellan 0° och 360°, med exakt samma subtraktion som används i hela coterminal-vinkelberäknaren på denna webbplats. När den coterminala vinkeln är funnen är resten av processen identisk med vilken annan vinkel som helst: identifiera vilken kvadrant den hamnar i, tillämpa sedan den kvadrantens formel. Vinklar kan vara godtyckligt stora. En vinkel som 1080° behöver helt enkelt tre subtraktioner av 360° istället för en innan kvadrantformeln kommer in i bilden, och samma reducera-sedan-tillämpa-logik skalar till vilken storlek som helst utan att ändras.
Vad händer om vinkeln är negativ?
Negativa vinklar roterar medurs från den positiva x-axeln istället för moturs. För att hitta referensvinkeln, addera 360° för att få den positiva coterminala vinkeln, och tillämpa sedan standardformeln. För −110°: −110° + 360° = 250°, som faller i Kvadrant III, så θ̂ = 250° − 180° = 70°. För −30°: −30° + 360° = 330°, som faller i Kvadrant IV, så θ̂ = 360° − 330° = 30°. I radianer, addera 2π istället för 360°. Referensvinklar är alltid positiva, oavsett om den ursprungliga vinkeln var positiv eller negativ.
Detta speglar exakt fallet med vinklar större än 360°, bara i motsatt riktning: istället för att subtrahera hela varv för att sänka en stor vinkel, lägger du till ett helt varv för att höja en negativ vinkel till det normala intervallet 0° till 360°. En mycket negativ vinkel, som −450°, kan behöva mer än en addition av 360° innan den hamnar inom det intervallet, precis som en mycket stor positiv vinkel behöver mer än en subtraktion. När vinkeln är positiv hittas kvadranten och referensvinkeln på exakt samma sätt som för alla andra vinklar på denna sida.
Referensvinkeltabell
Tabellen visar referensvinkeln för varje huvudvinkel från 0° till 360°, i både grader och radianer. Markerade rader anger de speciella vinklarna (30°, 45° och 60°) som uppträder upprepade gånger i trigonometri.
| Vinkel (°) | Vinkel (rad) | Kvadrant | Ref. (°) | Ref. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Referensvinkelgraf
Grafen ovan visar de 4 referensvinkelformlerna, en för varje kvadrant. Terminalsidans kvadrant avgör vilken formel som ska användas. Alla 4 returnerar samma typ av resultat: en positiv spetsig vinkel mellan 0° och 90°.
Vanliga frågor
Finns en referensvinkel alltid?
Ja, varje vinkel har en referensvinkel. För vinklar i första kvadranten (0° till 90°) är referensvinkeln lika med den ursprungliga vinkeln. För kvadrantala vinklar (exakt 0°, 90°, 180°, 270°, 360°) är referensvinkeln 0° eller 90° beroende på position. Vissa läroböcker noterar att kvadrantala vinklar tekniskt sett inte har referensvinklar i strikt mening, denna beräknare returnerar 0° för 0°, 180° och 360°, och 90° för 90° och 270°.
Kan en referensvinkel vara negativ?
Nej. En referensvinkel är alltid en positiv spetsig vinkel. Även när den ursprungliga vinkeln är negativ, producerar referensvinkelberäkningen ett positivt resultat eftersom den mäter det spetsiga avståndet mellan terminalsidan och x-axeln.
Är en referensvinkel alltid mindre än 90 grader?
Ja. Per definition är en referensvinkel alltid mindre än 90° (π/2 radianer) för icke-kvadrantala vinklar. För vinklar exakt på axlarna anses referensvinkeln av de flesta läroböcker vara 0° eller odefinierad snarare än 90°.
Är referensvinklar alltid positiva?
Ja. Referensvinklar är alltid positiva, oavsett om den ursprungliga vinkeln var positiv, negativ, större än 360° eller uttryckt i radianer.
Vad är referensvinkeln för 90 grader?
Referensvinkeln för 90° är 90°. 90° är en kvadrantal vinkel, dess terminalsida faller exakt på den positiva y-axeln, och vinkeln mellan terminalsidan och x-axeln är 90°. Vissa läroböcker behandlar kvadrantala vinklar som saknade en definierad referensvinkel; denna beräknare returnerar 90°.
Vad är referensvinkeln för 150°?
Referensvinkeln för 150° är 30°. 150° faller i andra kvadranten, så formeln för Kvadrant II ger θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Vad är referensvinkeln för 225°?
Referensvinkeln för 225° är 45°. 225° faller i tredje kvadranten, så formeln för Kvadrant III ger θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Vad är referensvinkeln för 300°?
Referensvinkeln för 300° är 60°. 300° faller i fjärde kvadranten, så formeln för Kvadrant IV ger θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Vad är referensvinkeln för −30°?
Referensvinkeln för −30° är 30°. Konvertera först till en positiv coterminal vinkel: −30° + 360° = 330°. 330° faller i Kvadrant IV, så θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Vad är referensvinkeln för 90 grader?
Referensvinkeln för 90° är 90°. 90° är en kvadrantal vinkel, dess terminalsida faller exakt på den positiva y-axeln, och vinkeln mellan terminalsidan och x-axeln är 90°. Vissa läroböcker behandlar kvadrantala vinklar som saknade en definierad referensvinkel; denna beräknare returnerar 90°.
Vad är referensvinkeln för 2π?
Referensvinkeln för 2π är 0. 2π motsvarar en full rotation (360°), som returnerar terminalsidan till den positiva x-axeln. Eftersom vinkeln ligger på axeln, är referensvinkeln, den spetsiga vinkeln till närmaste x-axel, 0.
Vad är referensvinkeln för 4π/3?
Referensvinkeln för 4π/3 är π/3. 4π/3 motsvarar 240°, som faller i tredje kvadranten. Formeln för Kvadrant III ger θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Vad är skillnaden mellan en referensvinkel och en coterminal vinkel?
En coterminal vinkel delar samma terminalsida som den ursprungliga vinkeln, den bildas genom att addera eller subtrahera multipler av 360° (eller 2π). En referensvinkel är den spetsiga vinkeln mellan terminalsidan och närmaste x-axel. Coterminala vinklar är lika i position; en referensvinkel är ett mått på avståndet till x-axeln.