Referans Açısı Hesaplayıcısı
Ondalıkları, negatif açıları ve 360°'den büyük açıları kabul eder, hepsi otomatik olarak indirgenir.
Bu referans açısı hesaplayıcısı herhangi bir açı için referans açısını, bölgeyi, koterminal açıyı ve trigonometrik fonksiyon işaretlerini döndürür, derece veya radyan cinsinden. Negatif açılar ve 360°'den büyük açılar otomatik olarak işlenir.
Referans Açısı Nedir?, Referans Açısı Tanımı
Bir referans açısı, bir açının terminal kenarı ile x ekseninin en yakın kısmı arasındaki en küçük pozitif dar açıdır. Her zaman 0° ile 90° arasındadır ve θ̂ (theta-şapka) olarak yazılır.
Bir açı, başlangıç kenarı pozitif x ekseni üzerinde olduğunda ve koordinat düzleminin orijininden ölçüldüğünde standart konumda çizilir. Pozitif bir açı saat yönünün tersine döner; negatif bir açı saat yönünde döner. Terminal kenar (terminal çizgi) dönmenin durduğu yerdir. Referans açısı, o terminal kenar ile x ekseni arasındaki pozitif dar açıdır.
Referans açısı x ekseninin en yakın kısmına göre tanımlandığından, hiçbir zaman negatif değildir ve hiçbir zaman 90°'dan büyük olmaz. 2B Kartezyen sistemindeki herhangi bir bölgesel olmayan açı için tam olarak bir dar referans açısı vardır. O tek dar açı, orijinal açının her trigonometrik fonksiyonunu değerlendirmenin anahtarıdır.
144° açısını somut bir örnek olarak ele alalım. Standart konumda çizildiğinde, sonlanan kenarı ikinci bölgeye, 90° ile 180° arasına düşer. Referans açı, bu sonlanan kenar ile x eksininin en yakın yarısı arasındaki dar açıklıktır; bu durumda bu, pozitif değil negatif x eksenidir. 180°'den 144° çıkarıldığında 36° elde edilir, dolayısıyla 144° için referans açı 36°'dir. Aynı mantık, sonlanan kenarın hangi bölgede olduğuna bakılmaksızın geçerlidir, çünkü her bölgenin kendi en yakın x ekseni yarısı ve kendi çıkarma formülü vardır. Tek istisna, sonlanan kenarı açık bir bölge içinde değil, tam olarak bir eksen üzerinde bulunan bölgesel açıdır; 0°, 90°, 180° veya 270° gibi. Bu hesap makinesi de dahil olmak üzere çoğu hesap makinesi, bazı ders kitapları bunları katı dar açı tanımının dışında özel bir durum olarak ele alsa da, bu durumlar için hâlâ 0° veya 90° referans açısı döndürür.
Trigonometride Referans Açılarının Önemi
Bir trigonometrik fonksiyon, bir açı ve onun referans açısı için aynı mutlak değeri döndürür, yalnızca işaret farklıdır. Bu, Referans Açısı Teoremidir: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) ve tan(θ) = ±tan(θ̂). Orijinal açının bölgesi işareti belirler.
Açı θ
İşaret bölgeye göre değişir
Referans açısı θ̂
Aynı mutlak değer
Doğru işareti seçmek için, her bölgede pozitif olan fonksiyonları adlandıran ASTC mnemotiğini (All Students Take Calculus) kullanın:
Tümü
Birinci Bölge
Tüm trigonometrik fonksiyonlar pozitiftir.
Sinüs
İkinci Bölge
Yalnızca sinüs (ve kosekant) pozitiftir.
Tanjant
Üçüncü Bölge
Yalnızca tanjant (ve kotanjant) pozitiftir.
Kosinüs
Dördüncü Bölge
Yalnızca kosinüs (ve sekant) pozitiftir.
Aynı kural için iki alternatif: "Add Sugar To Coffee" ve "All Science Teachers (are) Crazy."
İşaret belirlendikten sonra gerçek eşleştirme devreye girer: sin(30°) = 1/2 olduğunu bilmek, otomatik olarak sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2 ve sin(330°) = −1/2 olduğunu da gösterir, çünkü bu dört açının tümü aynı 30° referans açısını paylaşır. Yukarıdaki karşılaştırma kartı bu düzeni tam olarak üç farklı bölgede gösterir. Bu nedenle referans açılarını ezberlemek, her açıyı ayrı ayrı ezberlemekten çok daha etkilidir: birinci bölgeden birkaç değer, ASTC işaret kuralıyla birleştiğinde, tipik bir trigonometri dersinde veya sınavında sorulabilecek neredeyse her açıyı kapsar.
Grafik Bölgeleri ve Trigonometrik Fonksiyonlar
2B Kartezyen sisteminin iki ekseni düzlemi dört bölgeye böler. Numaralandırma, her iki koordinatın da pozitif olduğu sağ üst bölgede başlar ve saat yönünün tersine II, III ve IV boyunca devam eder. Aşağıdaki tablo 0° ile 360° (0 ile 2π radyan) arasındaki sekiz standart açı için kesin trigonometrik değerleri gösterir. Bu değerler bölgeye göre işaret değişiklikleriyle tekrarlanır.
Her bölge sınırı bir bölgesel açıyla hizalanır: 0°, 90°, 180° ve 270°. Aşağıdaki tabloyu ASTC düzeniyle birlikte okumak, işaretlerin neden tekrarlandığını tam olarak gösterir: örneğin 30°'deki büyüklük, 150°, 210° ve 330°'de yeniden ortaya çıkar, çünkü dördü de aynı referans açısını paylaşır ve yalnızca işaret, o belirli açının bulunduğu bölgeye uyacak şekilde değişir. Bu, bu sayfanın tamamında kullanılan aynı tablodur ve belirli bir işaret veya kesin değerin tekrar kontrol edilmesi gerektiğinde buraya dönmeye değer.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Derece Cinsinden Referans Açısı Nasıl Bulunur?
Terminal kenarın bölgesiyle eşleşen formülü seçin. Her biri 0° ile 90° arasında pozitif bir dar açı döndürür.
0° ila 90°
θ̂ = θ
90° ila 180°
θ̂ = 180° − θ
180° ila 270°
θ̂ = θ − 180°
270° ila 360°
θ̂ = 360° − θ
Derece cinsinden bir referans açısı bulmak için dört adımı izleyin:
- Açı 360°'den büyükse, 0° ile 360° arasında düşene kadar 360° çıkarın.
- Yukarıdaki kartlardaki aralıkları kullanarak bölgeyi belirleyin.
- Eşleşen formülü uygulayın.
- Sonuç sizin referans açınızdır, her zaman pozitif bir dar açıdır.
Çözümlü örnek, 610°
- İndirge: 610° − 360° = 250°
- Konumlandır: 250° Üçüncü Bölgeye düşer
- Uygula: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Referans açısı = 70°
Çözümlü örnek, 144°
- İndirge: zaten 0° ile 360° arasında
- Konumlandır: 144° İkinci Bölgeye düşer
- Uygula: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Referans açısı = 36°
İkinci bölgedeki açılar için, referans açısını bulmak tümler açıyı bulmakla aynıdır, ikisinin toplamı 180°'dir.
Yukarıdaki her iki çözülmüş örnek de biraz farklı başlangıç koşullarında aynı üç adımlı düzeni izler. 610°, bir tam turdan büyük olduğu için önce ekstra bir indirgeme adımı gerektirir, 144° ise zaten 0° ile 360° aralığında olduğundan doğrudan bölge bulmaya geçer. Bir açı bu aralığa girdiğinde, bölgesini belirlemek yalnızca dört sınır aralığından hangisine düştüğünü kontrol etmekten ibarettir ve eşleşen formül gerisini halleder. Dört formülün her birinin küçük, pozitif bir sayı döndürecek şekilde tasarlandığına dikkat edin: I. Bölge açıyı olduğu gibi bırakır çünkü zaten dardır, II, III ve IV. Bölgeler ise her biri, pozitif x ekseninden tam dönüş yerine en yakın x eksenine olan mesafeyi ölçen bir yönde çıkarma yapar. Referans açının tüm mantığı budur: rastgele bir dönüşü küçük, tanıdık bir birinci bölge eşdeğerine dönüştürür.
Radyan Cinsinden Referans Açısı Nasıl Bulunur?
Radyan prosedürü derece prosedürünü yansıtır, yalnızca sınır değerleri değişir. 180° yerine π ve 360° yerine 2π koyun.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Çözümlü örnek, 28π/9
- İndirge: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Konumlandır: 10π/9 π'yi henüz geçmiş → Üçüncü Bölge
- Uygula: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Referans açısı = π/9
Çözümlü örnek, 4π/3
- İndirge: zaten 0 ile 2π arasında
- Konumlandır: 4π/3 π ile 3π/2 arasındadır → Üçüncü Bölge
- Uygula: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Referans açısı = π/3
| Açı (rad) | Bölge | Referans açısı |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
2π'den büyük veya 0'dan küçük açılar için, önce 2π'nin katlarını ekleyin veya çıkarın, derecede 360°'nin katlarının çıkarılmasıyla aynı şekilde, sonuç tam bir tur içine girene kadar. Yukarıdaki iki çözülmüş örnek bu süreci gösterir: 28π/9 tam bir turu geçer ve bir kez indirgeme gerektirir, 4π/3 ise zaten 0 ile 2π arasındadır. Derece ve radyan aynı dönüşü ölçtüğü için, radyan cinsinden bulunan referans açısı her zaman derece cinsinden bulunanla eşleşir.
Bu Referans Açısı Hesaplayıcısı Nasıl Kullanılır?
1. Açıyı girin
Giriş alanına herhangi bir açı yazın ve derece veya radyan seçin. Ondalıklar, negatif değerler ve 360°'yi aşan açıların hepsi çalışır.
2. Sonuçları okuyun
Hesaplayıcı anında referans açısını, bölgeyi, koterminal açıyı ve trigonometrik fonksiyon işaretlerini gösterir, düğmeye gerek yok.
Negatif açılar, pozitif eşdeğeri bulmak için 360° eklenerek otomatik olarak işlenir ve 360°'den büyük açılar önce indirgenir. Radyan girişi ondalık değerleri kabul eder ve birimi değiştirmek anında yeniden hesaplar. Terminal kenarı elle hareket ettirmek için noktayı birim çember boyunca da sürükleyebilirsiniz.
…İçin Referans Açısı Nedir
Herhangi bir yaygın açının referans açısını bölgeye göre bakın. Özel açılar (30°, 45°, 60°, 90°) radyan eşdeğerleriyle vurgulanır.
Birinci Bölge (0° ila 90°)
Birinci bölgedeki her açı kendi referans açısıdır.
| Açı | Referans açısı |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
İkinci Bölge (90° ila 180°)
Tüm ikinci bölge açıları için referans açısı = 180° − açı.
| Açı | Referans açısı |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Üçüncü Bölge (180° ila 270°)
Tüm üçüncü bölge açıları için referans açısı = açı − 180°.
| Açı | Referans açısı |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Dördüncü Bölge (270° ila 360°)
Tüm dördüncü bölge açıları için referans açısı = 360° − açı.
| Açı | Referans açısı |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Açı 360°'den Büyükse Ne Olur?
360°'den büyük bir açı en az bir tam dönüş tamamlamıştır. Açı 0° ile 360° arasında olana kadar 360° tekrar tekrar çıkarın, bu, 0° ile 360° arasındaki koterminal açıyı bulmakla aynıdır, ardından standart bölge formülünü uygulayın.
İkinci bir örnek: 720° − 360° = 360°, bu bir bölgesel açıdır, bu nedenle referans açısı 0°'dir. Radyan cinsinden, 360° yerine 2π'nin katlarını çıkarın.
Bu indirgeme adımı, aslında bu sitedeki koterminal açı hesaplayıcısının tamamında kullanılan aynı çıkarmayla, önce 0° ile 360° arasındaki koterminal açıyı bulmaktan ibarettir. Bu koterminal açı bulunduktan sonra, sürecin kalanı diğer herhangi bir açıyla tamamen aynıdır: hangi bölgeye düştüğünü belirleyin, ardından o bölgenin formülünü uygulayın. Açılar keyfi olarak büyük olabilir. 1080° gibi bir açı, bölge formülü devreye girmeden önce bir yerine üç kez 360° çıkarma gerektirir ve aynı önce-indirgeme-sonra-uygulama mantığı değişmeden her boyuta ölçeklenir.
Açı Negatifse Ne Olur?
Negatif açılar, pozitif x ekseninden saat yönünün tersine yerine saat yönünde döner. Referans açısını bulmak için, pozitif koterminal açıyı elde etmek üzere 360° ekleyin, ardından standart formülü uygulayın. −110° için: −110° + 360° = 250°, Üçüncü Bölgeye düşer, bu yüzden θ̂ = 250° − 180° = 70°. −30° için: −30° + 360° = 330°, Dördüncü Bölgeye düşer, bu yüzden θ̂ = 360° − 330° = 30°. Radyan cinsinden, 360° yerine 2π ekleyin. Referans açıları, orijinal açı pozitif veya negatif olmuş olsun fark etmeksizin her zaman pozitiftir.
Bu, 360°'den büyük açı durumunu tam olarak yansıtır, sadece ters yönde: büyük bir açıyı aşağı çekmek için tam turları çıkarmak yerine, negatif bir açıyı normal 0° ile 360° aralığına yükseltmek için tam bir tur eklersiniz. −450° gibi çok negatif bir açı, o aralığa girmeden önce birden fazla 360° ekleme gerektirebilir, tıpkı çok büyük pozitif bir açının birden fazla çıkarma gerektirmesi gibi. Açı pozitif olduğunda, bölge ve referans açı bu sayfadaki diğer herhangi bir açıyla tamamen aynı şekilde bulunur.
Referans Açısı Tablosu
Tablo, hem derece hem de radyan cinsinden 0° ile 360° arasındaki her ana açı için referans açısını gösterir. Vurgulanan satırlar, trigonometride tekrar tekrar ortaya çıkan özel açıları (30°, 45° ve 60°) işaretler.
| Açı (°) | Açı (rad) | Bölge | Ref. (°) | Ref. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Referans Açısı Grafiği
Yukarıdaki grafik, 4 referans açısı formülünü gösterir, her bölge için bir tane. Terminal kenarın bölgesi hangi formülün kullanılacağını belirler. 4'ü de aynı türde sonuç döndürür: 0° ile 90° arasında pozitif bir dar açı.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir referans açısı her zaman var mıdır?
Evet, her açının bir referans açısı vardır. Birinci bölgedeki açılar için (0° ila 90°), referans açısı orijinal açıya eşittir. Bölgesel açılar için (tam olarak 0°, 90°, 180°, 270°, 360°), referans açısı konuma göre 0° veya 90°'dir. Bazı ders kitapları, bölgesel açıların katı anlamda teknik olarak referans açıları olmadığını belirtir, bu hesaplayıcı 0°, 180° ve 360° için 0°, 90° ve 270° için 90° döndürür.
Bir referans açısı negatif olabilir mi?
Hayır. Bir referans açısı her zaman pozitif bir dar açıdır. Orijinal açı negatif olsa bile, referans açısı hesaplaması pozitif bir sonuç üretir çünkü terminal kenar ile x ekseni arasındaki dar mesafeyi ölçer.
Bir referans açısı her zaman 90 dereceden küçük müdür?
Evet. Tanım gereği, bölgesel olmayan açılar için bir referans açısı her zaman 90°'den (π/2 radyan) küçüktür. Tam olarak eksenler üzerindeki açılar için, çoğu ders kitabı referans açısını 90° yerine 0° veya tanımsız olarak kabul eder.
Referans açıları her zaman pozitif midir?
Evet. Referans açıları, orijinal açı pozitif, negatif, 360°'den büyük veya radyan cinsinden ifade edilmiş olsun fark etmeksizin her zaman pozitiftir.
90 derece için referans açısı nedir?
90° için referans açısı 90°'dir. 90° bir bölgesel açıdır, terminal kenarı tam olarak pozitif y eksenine düşer ve o terminal kenar ile x ekseni arasındaki açı 90°'dir. Bazı ders kitapları bölgesel açıları tanımlı bir referans açısı olmayan olarak kabul eder; bu hesaplayıcı 90° döndürür.
150° için referans açısı nedir?
150° için referans açısı 30°'dir. 150° ikinci bölgeye düşer, bu yüzden İkinci Bölge formülü θ̂ = 180° − 150° = 30° verir.
225° için referans açısı nedir?
225° için referans açısı 45°'dir. 225° üçüncü bölgeye düşer, bu yüzden Üçüncü Bölge formülü θ̂ = 225° − 180° = 45° verir.
300° için referans açısı nedir?
300° için referans açısı 60°'dir. 300° dördüncü bölgeye düşer, bu yüzden Dördüncü Bölge formülü θ̂ = 360° − 300° = 60° verir.
−30° için referans açısı nedir?
−30° için referans açısı 30°'dir. Önce pozitif bir koterminal açıya dönüştürün: −30° + 360° = 330°. 330° Dördüncü Bölgeye düşer, bu yüzden θ̂ = 360° − 330° = 30°.
90 derece için referans açısı nedir?
90° için referans açısı 90°'dir. 90° bir bölgesel açıdır, terminal kenarı tam olarak pozitif y eksenine düşer ve o terminal kenar ile x ekseni arasındaki açı 90°'dir. Bazı ders kitapları bölgesel açıları tanımlı bir referans açısı olmayan olarak kabul eder; bu hesaplayıcı 90° döndürür.
2π için referans açısı nedir?
2π için referans açısı 0'dır. 2π, bir tam dönüşe (360°) eşittir ve bu, terminal kenarı pozitif x eksenine geri döndürür. Açı eksen üzerinde bulunduğundan, referans açısı, en yakın x eksenine olan dar açı, 0'dır.
4π/3 için referans açısı nedir?
4π/3 için referans açısı π/3'tür. 4π/3, 240°'ye eşdeğerdir ve üçüncü bölgeye düşer. Üçüncü Bölge formülü θ̂ = 4π/3 − π = π/3 verir.
Bir referans açısı ile bir koterminal açı arasındaki fark nedir?
Bir koterminal açı, orijinal açıyla aynı terminal kenarı paylaşır, 360°'nin (veya 2π'nin) katları eklenerek veya çıkarılarak oluşur. Bir referans açısı, terminal kenar ile en yakın x ekseni arasındaki dar açıdır. Koterminal açılar konum olarak eşittir; bir referans açısı, x eksenine olan bir mesafe ölçümüdür.