Kalkulator kąta odniesienia
Akceptuje ułamki dziesiętne, kąty ujemne i kąty większe niż 360°, wszystkie redukowane automatycznie.
Ten kalkulator kąta odniesienia zwraca kąt odniesienia, ćwiartkę, kąt współterminalny i znaki funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, w stopniach lub radianach. Kąty ujemne i kąty większe niż 360° są obsługiwane automatycznie.
Czym jest kąt odniesienia?, Definicja kąta odniesienia
Kąt odniesienia to najmniejszy dodatni kąt ostry między ramieniem końcowym kąta a najbliższą częścią osi x. Zawsze mieści się między 0° a 90° i zapisuje się go jako θ̂ (theta z daszkiem).
Kąt rysuje się w położeniu standardowym, gdy jego ramię początkowe leży na dodatniej osi x i mierzy się go od początku układu współrzędnych. Kąt dodatni obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; kąt ujemny obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ramię końcowe (linia końcowa) to miejsce, w którym obrót się zatrzymuje. Kąt odniesienia to dodatni kąt ostry między tym ramieniem końcowym a osią x.
Ponieważ kąt odniesienia jest definiowany względem najbliższej części osi x, nigdy nie jest ujemny i nigdy nie większy niż 90°. Dla dowolnego kąta niećwiartkowego w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim istnieje dokładnie jeden ostry kąt odniesienia. Ten jeden ostry kąt jest kluczem do wyznaczenia każdej funkcji trygonometrycznej kąta oryginalnego.
Weźmy kąt 144° jako konkretny przykład. Narysowany w położeniu standardowym, jego ramię końcowe znajduje się w drugiej ćwiartce, między 90° a 180°. Kąt odniesienia to ostry prześwit między tym ramieniem końcowym a najbliższą połową osi x, którą w tym przypadku jest ujemna, a nie dodatnia oś x. Odejmując 180° minus 144°, otrzymujemy 36°, więc kąt odniesienia dla 144° to 36°. Ta sama logika obowiązuje niezależnie od tego, w której ćwiartce znajdzie się ramię końcowe, ponieważ każda ćwiartka ma swoją własną najbliższą połowę osi x i swój własny wzór odejmowania. Jedynym wyjątkiem jest kąt osiowy, którego ramię końcowe leży dokładnie na osi, a nie wewnątrz otwartej ćwiartki, na przykład 0°, 90°, 180° lub 270°. Większość kalkulatorów, w tym ten, wciąż zwraca kąt odniesienia 0° lub 90° w takich przypadkach, choć niektóre podręczniki traktują je jako przypadek szczególny poza ścisłą definicją kąta ostrego.
Znaczenie kątów odniesienia w trygonometrii
Funkcja trygonometryczna zwraca tę samą wartość bezwzględną dla kąta i jego kąta odniesienia, różni się tylko znak. To jest Twierdzenie o kącie odniesienia: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) i tan(θ) = ±tan(θ̂). Ćwiartka kąta oryginalnego decyduje o znaku.
Kąt θ
Znak zależy od ćwiartki
Kąt odniesienia θ̂
Ta sama wartość bezwzględna
Aby wybrać właściwy znak, użyj reguły mnemotechnicznej ASTC (All Students Take Calculus, Wszyscy Studenci Wybierają Analizę), która określa funkcje dodatnie w każdej ćwiartce:
Wszystkie
I ćwiartka
Wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.
Sinus
II ćwiartka
Tylko sinus (i kosecans) jest dodatni.
Tangens
III ćwiartka
Tylko tangens (i kotangens) jest dodatni.
Cosinus
IV ćwiartka
Tylko cosinus (i secans) jest dodatni.
Dwie alternatywy dla tej samej reguły: "Add Sugar To Coffee" (Dodaj cukier do kawy) i "All Science Teachers (are) Crazy" (Wszyscy nauczyciele nauk są szaleni).
Gdy znak jest już ustalony, do gry wchodzi samo wyszukiwanie: wiedząc, że sin(30°) = 1/2, automatycznie wiadomo, że sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2, a sin(330°) = −1/2, ponieważ wszystkie cztery kąty mają ten sam kąt odniesienia równy 30°. Karta porównawcza powyżej pokazuje właśnie ten wzorzec w trzech różnych ćwiartkach. Dlatego zapamiętywanie kątów odniesienia jest znacznie skuteczniejsze niż zapamiętywanie każdego kąta z osobna: kilka wartości z pierwszej ćwiartki, w połączeniu z regułą znaków ASTC, obejmuje praktycznie każdy kąt, jaki pojawi się w typowym kursie lub egzaminie z trygonometrii.
Ćwiartki wykresu i funkcje trygonometryczne
Dwie osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. Numeracja rozpoczyna się w ćwiartce prawej górnej, gdzie obie współrzędne są dodatnie, i przebiega przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przez II, III i IV. Poniższa tabela przedstawia dokładne wartości trygonometryczne dla ośmiu kątów standardowych od 0° do 360° (od 0 do 2π radianów). Wartości te powtarzają się ze zmianami znaku w zależności od ćwiartki.
Każda granica ćwiartki zbiega się z kątem osiowym: 0°, 90°, 180° i 270°. Odczytanie poniższej tabeli wraz z wzorcem ASTC pokazuje właśnie, dlaczego znaki się powtarzają: wartość przy 30°, na przykład, ponownie pojawia się przy 150°, 210° i 330°, ponieważ wszystkie cztery mają ten sam kąt odniesienia, a zmienia się tylko znak, aby dopasować się do ćwiartki, w której znajduje się ten konkretny kąt. To ta sama tabela używana w całej resztej tej strony i warto do niej wracać, gdy trzeba sprawdzić konkretny znak lub dokładną wartość.
| α (°) | α (rad) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Jak znaleźć kąt odniesienia dla stopni?
Wybierz wzór pasujący do ćwiartki ramienia końcowego. Każdy zwraca dodatni kąt ostry między 0° a 90°.
0° do 90°
θ̂ = θ
90° do 180°
θ̂ = 180° − θ
180° do 270°
θ̂ = θ − 180°
270° do 360°
θ̂ = 360° − θ
Aby znaleźć kąt odniesienia w stopniach, wykonaj cztery kroki:
- Jeśli kąt jest większy niż 360°, odejmij 360°, aż znajdzie się między 0° i 360°.
- Określ ćwiartkę, korzystając z przedziałów na powyższych kartach.
- Zastosuj pasujący wzór.
- Wynik to Twój kąt odniesienia, zawsze dodatni kąt ostry.
Rozwiązany przykład, 610°
- Redukcja: 610° − 360° = 250°
- Lokalizacja: 250° znajduje się w III ćwiartce
- Zastosowanie: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Kąt odniesienia = 70°
Rozwiązany przykład, 144°
- Redukcja: już między 0° i 360°
- Lokalizacja: 144° znajduje się w II ćwiartce
- Zastosowanie: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Kąt odniesienia = 36°
Dla kątów w drugiej ćwiartce znalezienie kąta odniesienia jest tym samym co znalezienie kąta suplementarnego, oba sumują się do 180°.
Oba rozwiązane przykłady powyżej podążają za tym samym trzyetapowym schematem w nieco innych warunkach początkowych. 610° wymaga najpierw dodatkowego kroku redukcji, ponieważ jest większy niż pełny obrót, natomiast 144° znajduje się już w zakresie od 0° do 360° i przechodzi bezpośrednio do wyszukiwania ćwiartki. Gdy kąt znajdzie się w tym zakresie, rozpoznanie jego ćwiartki polega jedynie na sprawdzeniu, między którymi z czterech zakresów granicznych się znajduje, a odpowiadający wzór robi resztę. Zauważ, że każdy z czterech wzorów jest zaprojektowany tak, aby zwracał małą, dodatnią liczbę: Ćwiartka I zachowuje kąt bez zmian, ponieważ jest już ostry, natomiast Ćwiartki II, III i IV odejmują w kierunku mierzącym odległość do najbliższej osi x, a nie pełny obrót od dodatniej osi x. To jest cała idea kąta odniesienia: przekształca on dowolny obrót w mały, znany odpowiednik z pierwszej ćwiartki.
Jak znaleźć kąt odniesienia w radianach?
Procedura w radianach odzwierciedla procedurę w stopniach, zmieniają się tylko wartości graniczne. Zastąp 180° przez π, a 360° przez 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Rozwiązany przykład, 28π/9
- Redukcja: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Lokalizacja: 10π/9 jest tuż za π → III ćwiartka
- Zastosowanie: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Kąt odniesienia = π/9
Rozwiązany przykład, 4π/3
- Redukcja: już między 0 i 2π
- Lokalizacja: 4π/3 jest między π i 3π/2 → III ćwiartka
- Zastosowanie: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Kąt odniesienia = π/3
| Kąt (rad) | Ćwiartka | Kąt odniesienia |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
Dla kątów większych niż 2π lub mniejszych niż 0 najpierw dodaj lub odejmij wielokrotności 2π, tak jak w stopniach usuwa się wielokrotności 360°, aż wynik znajdzie się w zakresie jednego pełnego obrotu. Oba rozwiązane przykłady powyżej pokazują ten proces: 28π/9 przekracza pełny obrót i wymaga jednej redukcji, a 4π/3 jest już między 0 a 2π. Ponieważ stopnie i radiany mierzą ten sam obrót, kąt odniesienia znaleziony w radianach zawsze odpowiada kątowi odniesienia znalezionemu w stopniach.
Jak korzystać z tego kalkulatora kąta odniesienia?
1. Wprowadź kąt
Wpisz dowolny kąt w polu wprowadzania i wybierz stopnie lub radiany. Ułamki dziesiętne, wartości ujemne i kąty powyżej 360° działają.
2. Odczytaj wyniki
Kalkulator natychmiast pokazuje kąt odniesienia, ćwiartkę, kąt współterminalny i znaki funkcji trygonometrycznych, bez potrzeby naciskania przycisku.
Kąty ujemne są obsługiwane automatycznie przez dodanie 360°, aby znaleźć dodatni odpowiednik, a kąty większe niż 360° są najpierw redukowane. Dane w radianach przyjmują wartości dziesiętne, a zmiana jednostki natychmiast przelicza wynik. Możesz też przeciągnąć punkt po okręgu jednostkowym, aby przesunąć ramię końcowe ręcznie.
Jaki jest kąt odniesienia dla…
Sprawdź kąt odniesienia dla dowolnego popularnego kąta według ćwiartki. Kąty specjalne (30°, 45°, 60°, 90°) są wyróżnione wraz ze swoimi odpowiednikami w radianach.
I ćwiartka (0° do 90°)
Każdy kąt w pierwszej ćwiartce jest swoim własnym kątem odniesienia.
| Kąt | Kąt odniesienia |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
II ćwiartka (90° do 180°)
Kąt odniesienia = 180° − kąt dla wszystkich kątów drugiej ćwiartki.
| Kąt | Kąt odniesienia |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
III ćwiartka (180° do 270°)
Kąt odniesienia = kąt − 180° dla wszystkich kątów trzeciej ćwiartki.
| Kąt | Kąt odniesienia |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
IV ćwiartka (270° do 360°)
Kąt odniesienia = 360° − kąt dla wszystkich kątów czwartej ćwiartki.
| Kąt | Kąt odniesienia |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Co jeśli kąt jest większy niż 360°?
Kąt większy niż 360° wykonał co najmniej jeden pełny obrót. Odejmuj 360° wielokrotnie, aż kąt znajdzie się między 0° i 360°, to samo co znalezienie kąta współterminalnego między 0° i 360°, a następnie zastosuj standardowy wzór dla ćwiartki.
Drugi przykład: 720° − 360° = 360°, co jest kątem ćwiartkowym, więc kąt odniesienia wynosi 0°. W radianach odejmuj wielokrotności 2π zamiast 360°.
Ten krok redukcji to w rzeczywistości po prostu znalezienie kąta współterminalnego między 0° a 360° najpierw, przy użyciu tego samego odejmowania, jakie stosuje się w całym kalkulatorze kąta współterminalnego na tej stronie. Gdy ten kąt współterminalny zostanie znaleziony, resztę procesu przeprowadza się identycznie jak dla każdego innego kąta: zidentyfikuj, w której ćwiartce się znajduje, a następnie zastosuj wzór tej ćwiartki. Kąty mogą być dowolnie duże. Kąt taki jak 1080° wymaga po prostu trzech odejmowań 360° zamiast jednego, zanim wzór ćwiartki zostanie zastosowany, a ta sama logika redukcji i zastosowania skaluje się do każdego rozmiaru bez zmian.
Co jeśli kąt jest ujemny?
Kąty ujemne obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniej osi x zamiast przeciwnie. Aby znaleźć kąt odniesienia, dodaj 360°, aby uzyskać dodatni kąt współterminalny, a następnie zastosuj standardowy wzór. Dla −110°: −110° + 360° = 250°, co znajduje się w III ćwiartce, więc θ̂ = 250° − 180° = 70°. Dla −30°: −30° + 360° = 330°, co znajduje się w IV ćwiartce, więc θ̂ = 360° − 330° = 30°. W radianach dodaj 2π zamiast 360°. Kąty odniesienia są zawsze dodatnie, niezależnie od tego, czy oryginalny kąt był dodatni czy ujemny.
Odzwierciedla to dokładnie przypadek kątów większych niż 360°, tylko w odwrotnym kierunku: zamiast odejmować pełne obroty, aby zmniejszyć duży kąt, dodajesz pełny obrót, aby podnieść ujemny kąt do normalnego zakresu od 0° do 360°. Bardzo ujemny kąt, taki jak −450°, może wymagać więcej niż jednego dodania 360°, zanim znajdzie się w tym zakresie, tak jak bardzo duży kąt dodatni wymaga więcej niż jednego odejmowania. Gdy kąt jest już dodatni, ćwiartkę i kąt odniesienia znajduje się dokładnie tak samo jak dla każdego innego kąta na tej stronie.
Tabela kątów odniesienia
Tabela przedstawia kąt odniesienia dla każdego głównego kąta od 0° do 360°, zarówno w stopniach, jak i radianach. Wyróżnione wiersze oznaczają kąty specjalne (30°, 45° i 60°), które pojawiają się wielokrotnie w trygonometrii.
| Kąt (°) | Kąt (rad) | Ćwiartka | Odn. (°) | Odn. (rad) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Wykres kątów odniesienia
Powyższy wykres pokazuje 4 wzory kąta odniesienia, po jednym na każdą ćwiartkę. Ćwiartka ramienia końcowego określa, którego wzoru użyć. Wszystkie 4 zwracają ten sam rodzaj wyniku: dodatni kąt ostry między 0° a 90°.
Często zadawane pytania
Czy kąt odniesienia zawsze istnieje?
Tak, każdy kąt ma kąt odniesienia. Dla kątów w pierwszej ćwiartce (0° do 90°) kąt odniesienia równa się kątowi oryginalnemu. Dla kątów ćwiartkowych (dokładnie 0°, 90°, 180°, 270°, 360°) kąt odniesienia wynosi 0° lub 90° w zależności od położenia. Niektóre podręczniki zauważają, że kąty ćwiartkowe technicznie nie mają kątów odniesienia w ścisłym sensie, ten kalkulator zwraca 0° dla 0°, 180° i 360° oraz 90° dla 90° i 270°.
Czy kąt odniesienia może być ujemny?
Nie. Kąt odniesienia jest zawsze dodatnim kątem ostrym. Nawet gdy oryginalny kąt jest ujemny, obliczenie kąta odniesienia daje dodatni wynik, ponieważ mierzy on ostrą odległość między ramieniem końcowym a osią x.
Czy kąt odniesienia jest zawsze mniejszy niż 90 stopni?
Tak. Z definicji kąt odniesienia jest zawsze mniejszy niż 90° (π/2 radianów) dla kątów niećwiartkowych. Dla kątów leżących dokładnie na osiach większość podręczników uznaje kąt odniesienia za 0° lub niezdefiniowany zamiast 90°.
Czy kąty odniesienia są zawsze dodatnie?
Tak. Kąty odniesienia są zawsze dodatnie, niezależnie od tego, czy oryginalny kąt był dodatni, ujemny, większy niż 360° czy wyrażony w radianach.
Jaki jest kąt odniesienia dla 90 stopni?
Kąt odniesienia dla 90° wynosi 90°. 90° to kąt ćwiartkowy, jego ramię końcowe leży dokładnie na dodatniej osi y, a kąt między tym ramieniem końcowym a osią x wynosi 90°. Niektóre podręczniki traktują kąty ćwiartkowe jako nieposiadające zdefiniowanego kąta odniesienia; ten kalkulator zwraca 90°.
Jaki jest kąt odniesienia dla 150°?
Kąt odniesienia dla 150° wynosi 30°. 150° znajduje się w drugiej ćwiartce, więc wzór dla II ćwiartki daje θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Jaki jest kąt odniesienia dla 225°?
Kąt odniesienia dla 225° wynosi 45°. 225° znajduje się w trzeciej ćwiartce, więc wzór dla III ćwiartki daje θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Jaki jest kąt odniesienia dla 300°?
Kąt odniesienia dla 300° wynosi 60°. 300° znajduje się w czwartej ćwiartce, więc wzór dla IV ćwiartki daje θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Jaki jest kąt odniesienia dla −30°?
Kąt odniesienia dla −30° wynosi 30°. Najpierw zamień na dodatni kąt współterminalny: −30° + 360° = 330°. 330° znajduje się w IV ćwiartce, więc θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Jaki jest kąt odniesienia dla 90 stopni?
Kąt odniesienia dla 90° wynosi 90°. 90° to kąt ćwiartkowy, jego ramię końcowe leży dokładnie na dodatniej osi y, a kąt między tym ramieniem końcowym a osią x wynosi 90°. Niektóre podręczniki traktują kąty ćwiartkowe jako nieposiadające zdefiniowanego kąta odniesienia; ten kalkulator zwraca 90°.
Jaki jest kąt odniesienia dla 2π?
Kąt odniesienia dla 2π wynosi 0. 2π odpowiada pełnemu obrotowi (360°), co przywraca ramię końcowe na dodatnią oś x. Ponieważ kąt leży na osi, kąt odniesienia, ostry kąt do najbliższej osi x, wynosi 0.
Jaki jest kąt odniesienia dla 4π/3?
Kąt odniesienia dla 4π/3 wynosi π/3. 4π/3 odpowiada 240°, co znajduje się w trzeciej ćwiartce. Wzór dla III ćwiartki daje θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
Jaka jest różnica między kątem odniesienia a kątem współterminalnym?
Kąt współterminalny współdzieli to samo ramię końcowe co kąt oryginalny, powstaje przez dodawanie lub odejmowanie wielokrotności 360° (lub 2π). Kąt odniesienia to ostry kąt między ramieniem końcowym a najbliższą osią x. Kąty współterminalne są równe co do położenia; kąt odniesienia to miara odległości od osi x.