Калькулятор опорного угла
Допускаются десятичные дроби, отрицательные углы и углы больше 360°, все приводятся автоматически.
Этот калькулятор опорного угла возвращает опорный угол, квадрант, котерминальный угол и знаки тригонометрических функций для любого угла, в градусах или радианах. Отрицательные углы и углы больше 360° обрабатываются автоматически.
Что такое опорный угол?, Определение опорного угла
Опорный угол, это наименьший положительный острый угол между конечной стороной угла и ближайшей частью оси x. Он всегда находится между 0° и 90° и обозначается θ̂ (тета со шляпкой).
Угол изображается в стандартном положении, когда его начальная сторона лежит на положительной оси x и он отсчитывается от начала координатной плоскости. Положительный угол поворачивается против часовой стрелки; отрицательный угол, по часовой стрелке. Конечная сторона (конечная линия), это то место, где вращение останавливается. Опорный угол, это положительный острый угол между этой конечной стороной и осью x.
Поскольку опорный угол определяется относительно ближайшей части оси x, он никогда не бывает отрицательным и никогда не превышает 90°. Для любого неквадрантного угла в 2D декартовой системе существует ровно один острый опорный угол. Этот единственный острый угол является ключом к вычислению всех тригонометрических функций исходного угла.
Возьмём угол 144° как конкретный пример. При построении в стандартном положении его конечная сторона попадает во вторую четверть, между 90° и 180°. Опорный угол, острый промежуток между этой конечной стороной и ближайшей половиной оси x, которая в данном случае является отрицательной осью x, а не положительной. Вычитая 180° минус 144°, получаем 36°, поэтому опорный угол для 144° равен 36°. Та же логика применяется независимо от того, в какой четверти оказывается конечная сторона, поскольку у каждой четверти своя ближайшая половина оси x и своя формула вычитания. Единственное исключение, осевой угол, чья конечная сторона лежит точно на оси, а не внутри открытой четверти, например 0°, 90°, 180° или 270°. Большинство калькуляторов, включая этот, всё равно возвращают опорный угол 0° или 90° для таких случаев, хотя некоторые учебники рассматривают их как особый случай вне строгого определения острого угла.
Важность опорных углов в тригонометрии
Тригонометрическая функция возвращает то же абсолютное значение для угла и его опорного угла, различается только знак. Это Теорема об опорном угле: sin(θ) = ±sin(θ̂), cos(θ) = ±cos(θ̂) и tan(θ) = ±tan(θ̂). Квадрант исходного угла определяет знак.
Угол θ
Знак зависит от квадранта
Опорный угол θ̂
То же абсолютное значение
Чтобы выбрать правильный знак, используйте мнемоническое правило ASTC (All Students Take Calculus, Все Студенты Берут Математический Анализ), которое называет функции, положительные в каждом квадранте:
Все
Квадрант I
Все тригонометрические функции положительны.
Синус
Квадрант II
Положителен только синус (и косеканс).
Тангенс
Квадрант III
Положителен только тангенс (и котангенс).
Косинус
Квадрант IV
Положителен только косинус (и секанс).
Две альтернативы для того же правила: «Add Sugar To Coffee» и «All Science Teachers (are) Crazy.»
Когда знак определён, начинается сама подстановка: зная, что sin(30°) = 1/2, вы автоматически знаете, что sin(150°) = 1/2, sin(210°) = −1/2 и sin(330°) = −1/2, поскольку все четыре угла имеют один и тот же опорный угол 30°. Карточка сравнения выше показывает именно этот шаблон в трёх разных квадрантах. Поэтому запоминать опорные углы гораздо эффективнее, чем запоминать каждый угол отдельно: несколько значений первого квадранта вместе с правилом знаков ASTC покрывают почти любой угол, который встретится в типичном курсе тригонометрии или на экзамене.
Квадранты графика и тригонометрические функции
Две оси 2D декартовой системы делят плоскость на четыре квадранта. Нумерация начинается в правом верхнем квадранте, где обе координаты положительны, и продолжается против часовой стрелки через II, III и IV. Таблица ниже показывает точные тригонометрические значения для восьми стандартных углов от 0° до 360° (от 0 до 2π радиан). Эти значения повторяются с изменением знака в зависимости от квадранта.
Каждая граница квадранта совпадает с осевым углом: 0°, 90°, 180° и 270°. Изучение таблицы ниже вместе с шаблоном ASTC показывает, почему знаки повторяются: величина при 30°, например, снова появляется при 150°, 210° и 330°, поскольку все четыре угла имеют один и тот же опорный угол, и меняется только знак, соответствующий тому квадранту, в котором находится этот конкретный угол. Это та же таблица, которая используется на протяжении всей страницы, и к ней стоит возвращаться каждый раз, когда нужно перепроверить конкретный знак или точное значение.
| α (°) | α (рад) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | - |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | - | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | - |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | - | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | - |
Как найти опорный угол для градусов?
Выберите формулу, соответствующую квадранту конечной стороны. Каждая возвращает положительный острый угол между 0° и 90°.
0° до 90°
θ̂ = θ
90° до 180°
θ̂ = 180° − θ
180° до 270°
θ̂ = θ − 180°
270° до 360°
θ̂ = 360° − θ
Чтобы найти опорный угол в градусах, выполните четыре шага:
- Если угол больше 360°, вычитайте 360°, пока он не окажется между 0° и 360°.
- Определите квадрант, используя диапазоны на карточках выше.
- Примените соответствующую формулу.
- Результат, ваш опорный угол, всегда положительный острый угол.
Разобранный пример, 610°
- Привести: 610° − 360° = 250°
- Найти: 250° попадает в Квадрант III
- Применить: θ̂ = 250° − 180° = 70°
Опорный угол = 70°
Разобранный пример, 144°
- Привести: уже между 0° и 360°
- Найти: 144° попадает в Квадрант II
- Применить: θ̂ = 180° − 144° = 36°
Опорный угол = 36°
Для углов во втором квадранте нахождение опорного угла, это то же самое, что нахождение смежного угла, в сумме они дают 180°.
Оба решённых выше примера следуют одному и тому же трёхшаговому шаблону при немного разных начальных условиях. Для 610° сначала требуется дополнительный шаг сокращения, поскольку угол больше полного оборота, тогда как 144° уже находится в диапазоне от 0° до 360° и сразу переходит к определению квадранта. Как только угол оказывается в этом диапазоне, определение его квадранта, это просто проверка, между какими из четырёх граничных диапазонов он попадает, а соответствующая формула делает всё остальное. Обратите внимание, что каждая из четырёх формул создана так, чтобы возвращать небольшое положительное число: квадрант I оставляет угол без изменений, поскольку он уже острый, тогда как квадранты II, III и IV каждый вычитают в направлении, измеряющем расстояние до ближайшей оси x, а не полный поворот от положительной оси x. Именно в этом заключается вся идея опорного угла: он превращает произвольный поворот в маленький, привычный эквивалент из первого квадранта.
Как найти опорный угол в радианах?
Процедура в радианах повторяет процедуру в градусах, меняются только граничные значения. Замените 180° на π и 360° на 2π.
0 to π/2
θ̂ = θ
π/2 to π
θ̂ = π − θ
π to 3π/2
θ̂ = θ − π
3π/2 to 2π
θ̂ = 2π − θ
Разобранный пример, 28π/9
- Привести: 28π/9 − 2π = 10π/9
- Найти: 10π/9 чуть больше π → Квадрант III
- Применить: θ̂ = 10π/9 − π = π/9
Опорный угол = π/9
Разобранный пример, 4π/3
- Привести: уже между 0 и 2π
- Найти: 4π/3 находится между π и 3π/2 → Квадрант III
- Применить: θ̂ = 4π/3 − π = π/3
Опорный угол = π/3
| Угол (рад) | Квадрант | Опорный угол |
|---|---|---|
| π/6 | I | π/6 |
| π/4 | I | π/4 |
| π/3 | I | π/3 |
| 2π/3 | II | π/3 |
| 3π/4 | II | π/4 |
| 5π/6 | II | π/6 |
| 7π/6 | III | π/6 |
| 4π/3 | III | π/3 |
| 5π/4 | III | π/4 |
| 5π/3 | IV | π/3 |
| 7π/4 | IV | π/4 |
| 11π/6 | IV | π/6 |
Для углов больше 2π или меньше 0 сначала прибавьте или отнимите кратные 2π, точно так же, как в градусах отнимают кратные 360°, пока результат не окажется в пределах одного полного оборота. Оба решённых примера выше показывают этот процесс: 28π/9 больше полного оборота и требует одного сокращения, а 4π/3 уже находится между 0 и 2π. Поскольку градусы и радианы измеряют одно и то же вращение, опорный угол, найденный в радианах, всегда совпадает с опорным углом, найденным в градусах.
Как использовать этот калькулятор опорного угла?
1. Введите угол
Введите любой угол в поле ввода и выберите градусы или радианы. Десятичные дроби, отрицательные значения и углы больше 360°, всё работает.
2. Считайте результаты
Калькулятор мгновенно показывает опорный угол, квадрант, котерминальный угол и знаки тригонометрических функций, без нажатия кнопок.
Отрицательные углы обрабатываются автоматически путём добавления 360° для нахождения положительного эквивалента, а углы больше 360° сначала приводятся. Ввод в радианах принимает десятичные значения, а переключение единицы пересчитывает немедленно. Вы также можете перетаскивать точку по единичной окружности, чтобы перемещать конечную сторону вручную.
Какой опорный угол для…
Найдите опорный угол для любого распространённого угла по квадранту. Специальные углы (30°, 45°, 60°, 90°) выделены с их эквивалентами в радианах.
Первый квадрант (0° до 90°)
Каждый угол в первом квадранте является собственным опорным углом.
| Угол | Опорный угол |
|---|---|
| 1° | 1° |
| 5° | 5° |
| 10° | 10° |
| 15° | 15° |
| 20° | 20° |
| 25° | 25° |
| 30° | 30° (π/6) |
| 35° | 35° |
| 40° | 40° |
| 45° | 45° (π/4) |
| 50° | 50° |
| 55° | 55° |
| 60° | 60° (π/3) |
| 65° | 65° |
| 70° | 70° |
| 75° | 75° |
| 80° | 80° |
| 85° | 85° |
| 90° | 90° (π/2) |
Второй квадрант (90° до 180°)
Опорный угол = 180° − угол для всех углов второго квадранта.
| Угол | Опорный угол |
|---|---|
| 95° | 85° |
| 100° | 80° |
| 105° | 75° |
| 110° | 70° |
| 115° | 65° |
| 120° | 60° (π/3) |
| 125° | 55° |
| 130° | 50° |
| 135° | 45° (π/4) |
| 140° | 40° |
| 145° | 35° |
| 150° | 30° (π/6) |
| 155° | 25° |
| 160° | 20° |
| 165° | 15° |
| 170° | 10° |
| 175° | 5° |
| 180° | 0° |
Третий квадрант (180° до 270°)
Опорный угол = угол − 180° для всех углов третьего квадранта.
| Угол | Опорный угол |
|---|---|
| 185° | 5° |
| 190° | 10° |
| 195° | 15° |
| 200° | 20° |
| 205° | 25° |
| 210° | 30° (π/6) |
| 215° | 35° |
| 220° | 40° |
| 225° | 45° (π/4) |
| 230° | 50° |
| 235° | 55° |
| 240° | 60° (π/3) |
| 245° | 65° |
| 250° | 70° |
| 255° | 75° |
| 260° | 80° |
| 265° | 85° |
| 270° | 90° (π/2) |
Четвёртый квадрант (270° до 360°)
Опорный угол = 360° − угол для всех углов четвёртого квадранта.
| Угол | Опорный угол |
|---|---|
| 275° | 85° |
| 280° | 80° |
| 285° | 75° |
| 290° | 70° |
| 295° | 65° |
| 300° | 60° (π/3) |
| 305° | 55° |
| 310° | 50° |
| 315° | 45° (π/4) |
| 320° | 40° |
| 325° | 35° |
| 330° | 30° (π/6) |
| 335° | 25° |
| 340° | 20° |
| 345° | 15° |
| 350° | 10° |
| 355° | 5° |
| 360° | 0° |
Что если угол больше 360°?
Угол больше 360° совершил хотя бы один полный оборот. Вычитайте 360° повторно, пока угол не окажется между 0° и 360°, это то же самое, что найти котерминальный угол между 0° и 360°, затем примените стандартную формулу квадранта.
Второй пример: 720° − 360° = 360°, что является квадрантным углом, поэтому опорный угол равен 0°. В радианах вычитайте кратные 2π вместо 360°.
Этот шаг сокращения на самом деле то же самое, что найти котерминальный угол между 0° и 360° сначала, используя точно то же вычитание, что и в калькуляторе котерминальных углов на этом сайте. Как только этот котерминальный угол найден, остальной процесс идентичен любому другому углу: определите, в каком квадранте он находится, затем примените формулу этого квадранта. Углы могут быть произвольно большими. Угол вроде 1080° просто требует трёх вычитаний по 360° вместо одного, прежде чем формула квадранта вступит в игру, и та же логика сокращения с последующим применением формулы масштабируется на любой размер без изменений.
Что если угол отрицательный?
Отрицательные углы вращаются по часовой стрелке от положительной оси x вместо против часовой стрелки. Чтобы найти опорный угол, добавьте 360°, чтобы получить положительный котерминальный угол, затем примените стандартную формулу. Для −110°: −110° + 360° = 250°, что попадает в Квадрант III, поэтому θ̂ = 250° − 180° = 70°. Для −30°: −30° + 360° = 330°, что попадает в Квадрант IV, поэтому θ̂ = 360° − 330° = 30°. В радианах добавляйте 2π вместо 360°. Опорные углы всегда положительны, независимо от того, был ли исходный угол положительным или отрицательным.
Это точно отражает случай углов больше 360°, только в обратном направлении: вместо вычитания полных оборотов, чтобы уменьшить большой угол, вы прибавляете полный оборот, чтобы поднять отрицательный угол в обычный диапазон от 0° до 360°. Очень отрицательный угол, например −450°, может потребовать более одного прибавления 360°, прежде чем попадёт в этот диапазон, точно так же, как очень большой положительный угол требует более одного вычитания. Как только угол становится положительным, квадрант и опорный угол находятся точно так же, как и для любого другого угла на этой странице.
Таблица опорных углов
Таблица показывает опорный угол для каждого основного угла от 0° до 360°, как в градусах, так и в радианах. Выделенные строки отмечают специальные углы (30°, 45° и 60°), которые часто встречаются в тригонометрии.
| Угол (°) | Угол (рад) | Квадрант | Опорн. (°) | Опорн. (рад) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | - | 0° | 0 |
| 15° | π/12 | I | 15° | π/12 |
| 30° | π/6 | I | 30° | π/6 |
| 45° | π/4 | I | 45° | π/4 |
| 60° | π/3 | I | 60° | π/3 |
| 75° | 5π/12 | I | 75° | 5π/12 |
| 90° | π/2 | - | 90° | π/2 |
| 105° | 7π/12 | II | 75° | 5π/12 |
| 120° | 2π/3 | II | 60° | π/3 |
| 135° | 3π/4 | II | 45° | π/4 |
| 150° | 5π/6 | II | 30° | π/6 |
| 165° | 11π/12 | II | 15° | π/12 |
| 180° | π | - | 0° | 0 |
| 195° | 13π/12 | III | 15° | π/12 |
| 210° | 7π/6 | III | 30° | π/6 |
| 225° | 5π/4 | III | 45° | π/4 |
| 240° | 4π/3 | III | 60° | π/3 |
| 255° | 17π/12 | III | 75° | 5π/12 |
| 270° | 3π/2 | - | 90° | π/2 |
| 285° | 19π/12 | IV | 75° | 5π/12 |
| 300° | 5π/3 | IV | 60° | π/3 |
| 315° | 7π/4 | IV | 45° | π/4 |
| 330° | 11π/6 | IV | 30° | π/6 |
| 345° | 23π/12 | IV | 15° | π/12 |
| 360° | 2π | - | 0° | 0 |
Диаграмма опорных углов
Диаграмма выше показывает 4 формулы опорного угла, по одной для каждого квадранта. Квадрант конечной стороны определяет, какую формулу использовать. Все 4 возвращают результат одного типа: положительный острый угол между 0° и 90°.
Часто задаваемые вопросы
Всегда ли существует опорный угол?
Да, у каждого угла есть опорный угол. Для углов в первом квадранте (от 0° до 90°) опорный угол равен исходному углу. Для квадрантных углов (точно 0°, 90°, 180°, 270°, 360°) опорный угол равен 0° или 90° в зависимости от положения. Некоторые учебники отмечают, что квадрантные углы технически не имеют опорных углов в строгом смысле, этот калькулятор возвращает 0° для 0°, 180° и 360° и 90° для 90° и 270°.
Может ли опорный угол быть отрицательным?
Нет. Опорный угол, это всегда положительный острый угол. Даже когда исходный угол отрицательный, вычисление опорного угла даёт положительный результат, поскольку он измеряет острое расстояние между конечной стороной и осью x.
Всегда ли опорный угол меньше 90 градусов?
Да. По определению, опорный угол всегда меньше 90° (π/2 радиан) для неквадрантных углов. Для углов точно на осях большинство учебников считают опорный угол равным 0° или неопределённым, а не 90°.
Всегда ли опорные углы положительны?
Да. Опорные углы всегда положительны, независимо от того, был ли исходный угол положительным, отрицательным, больше 360° или выражен в радианах.
Какой опорный угол для 90 градусов?
Опорный угол для 90° равен 90°. 90°, это квадрантный угол; его конечная сторона попадает точно на положительную ось y, а угол между этой конечной стороной и осью x равен 90°. Некоторые учебники считают, что квадрантные углы не имеют определённого опорного угла; этот калькулятор возвращает 90°.
Какой опорный угол для 150°?
Опорный угол для 150° равен 30°. 150° попадает во второй квадрант, поэтому формула Квадранта II даёт θ̂ = 180° − 150° = 30°.
Какой опорный угол для 225°?
Опорный угол для 225° равен 45°. 225° попадает в третий квадрант, поэтому формула Квадранта III даёт θ̂ = 225° − 180° = 45°.
Какой опорный угол для 300°?
Опорный угол для 300° равен 60°. 300° попадает в четвёртый квадрант, поэтому формула Квадранта IV даёт θ̂ = 360° − 300° = 60°.
Какой опорный угол для −30°?
Опорный угол для −30° равен 30°. Сначала преобразуйте в положительный котерминальный угол: −30° + 360° = 330°. 330° попадает в Квадрант IV, поэтому θ̂ = 360° − 330° = 30°.
Какой опорный угол для 90 градусов?
Опорный угол для 90° равен 90°. 90°, это квадрантный угол; его конечная сторона попадает точно на положительную ось y, а угол между этой конечной стороной и осью x равен 90°. Некоторые учебники считают, что квадрантные углы не имеют определённого опорного угла; этот калькулятор возвращает 90°.
Какой опорный угол для 2π?
Опорный угол для 2π равен 0. 2π эквивалентно полному обороту (360°), который возвращает конечную сторону к положительной оси x. Поскольку угол лежит на оси, опорный угол, острый угол до ближайшей оси x, равен 0.
Какой опорный угол для 4π/3?
Опорный угол для 4π/3 равен π/3. 4π/3 эквивалентно 240°, что попадает в третий квадрант. Формула Квадранта III даёт θ̂ = 4π/3 − π = π/3.
В чём разница между опорным углом и котерминальным углом?
Котерминальный угол имеет ту же конечную сторону, что и исходный угол, он образуется добавлением или вычитанием кратных 360° (или 2π). Опорный угол, это острый угол между конечной стороной и ближайшей осью x. Котерминальные углы равны по положению; опорный угол, это мера расстояния до оси x.